无理数
定义：__ __叫做无理数．
特征：(1)无限性；(2)不循环性；(3)小数．
常见形式：(1)开方开不尽的数，如：，，，…；
(2)圆周率π以及含π的数，如：π，，－2π，…；
(3)具有特定结构的数，如：0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，…
任何一个有理数都可以化成有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数．
估计无理数的大小
对于带有根号的无理数，可以用“夹逼法”估计它的近似值，其方法是：
第1步：确定被估算的无理数位于哪两个整数之间；
第2步：以较小整数开始逐步加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求出其平方确定被估算的无理数的十分位；……如此继续下去，可以估算无理数的近似值．
无理数与数轴上的点的关系
数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示__ __，每个无理数都可以用__ __来表示．
不能说无理数与数轴上的点一一对应，因为数轴上的点表示的并不都是无理数，还有有理数．
有理数和无理数的判断
典例1 [2024·德州期中]实数0.321，4.2，，，0，，0.121 121 112…(每两个2之间依次多一个1)，其中无理数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式 在：，，0，3.14，－，－，7.151 551…(每相邻两个“1”之间依次多一个“5”)中，
整数集合{__ __}，
分数集合{__ __}，
无理数集合{__ _ __}．
无理数的估算
典例2 [2024·亳州期中]若一个正方形的面积为19，它的边长为a，则a的取值范围是( )
A．2
C．4变式1 [2024·临沂期末]已知a，b是两个连续整数，a<2－A．－2，－1 B．－1，0
C．0，1 D．1，2
变式2 无理数－2的小数部分是__ __.
变式3 [2024·济宁期中]若6－的整数部分为x，则x的值是__ __．
确定一个无理数在数轴上的对应点
典例3 [2024·南充]如图，数轴上表示的点是( )
典例3图
A．点A B．点B C．点C D．点D
变式 [2024·济宁期中]如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是－1，CB⊥AB于点B，且BC＝1，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则点D表示的数是( )
变式图
A.－1 B．1－
C.－1 D．1－
1．[2024·滨州期中]实数－2，，，0，，，3.1415，0.212 112 111 2…(每两个2之间1的个数逐次增加1)中，无理数的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．[2024·济南期末]如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，3，CB⊥OB于点B，BC＝2，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值
为( )
第2题图
A. B．－ C. D．－
3．[2024·临沂期中]估算5－的运算结果应在( )
A．2到3之间 B．3到4之间
C．1到2之间 D．4到5之间无理数
定义：__无限不循环小数__叫做无理数．
特征：(1)无限性；(2)不循环性；(3)小数．
常见形式：(1)开方开不尽的数，如：，，，…；
(2)圆周率π以及含π的数，如：π，，－2π，…；
(3)具有特定结构的数，如：0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，…
任何一个有理数都可以化成有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数．
估计无理数的大小
对于带有根号的无理数，可以用“夹逼法”估计它的近似值，其方法是：
第1步：确定被估算的无理数位于哪两个整数之间；
第2步：以较小整数开始逐步加0.1(或以较大整数开始逐步减0.1)，并求出其平方确定被估算的无理数的十分位；……如此继续下去，可以估算无理数的近似值．
无理数与数轴上的点的关系
数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示__无理数__，每个无理数都可以用__数轴上的点__来表示．
不能说无理数与数轴上的点一一对应，因为数轴上的点表示的并不都是无理数，还有有理数．
有理数和无理数的判断
典例1 [2024·德州期中]实数0.321，4.2，，，0，，0.121 121 112…(每两个2之间依次多一个1)，其中无理数有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
无理数是无限不循环小数，据此逐个判断即可求解．
变式 在：，，0，3.14，－，－，7.151 551…(每相邻两个“1”之间依次多一个“5”)中，
整数集合{__0，－__}，
分数集合{__，3.14__}，
无理数集合{__，－，7.151_551…__}．
无理数的估算
典例2 [2024·亳州期中]若一个正方形的面积为19，它的边长为a，则a的取值范围是( C )
A．2C．4根据正方形面积得出边长为，根据无理数的估算方法即可作答．
变式1 [2024·临沂期末]已知a，b是两个连续整数，a<2－A．－2，－1 B．－1，0
C．0，1 D．1，2
变式2 无理数－2的小数部分是__－5__.
变式3 [2024·济宁期中]若6－的整数部分为x，则x的值是__2__．
确定一个无理数在数轴上的对应点
典例3 [2024·南充]如图，数轴上表示的点是( C )
典例3图
A．点A B．点B C．点C D．点D
分析被开方数的范围即可．
变式 [2024·济宁期中]如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是－1，CB⊥AB于点B，且BC＝1，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则点D表示的数是( D )
变式图
A.－1 B．1－
C.－1 D．1－
1．[2024·滨州期中]实数－2，，，0，，，3.1415，0.212 112 111 2…(每两个2之间1的个数逐次增加1)中，无理数的个数有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．[2024·济南期末]如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，3，CB⊥OB于点B，BC＝2，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值
为( A )
第2题图
A. B．－ C. D．－
3．[2024·临沂期中]估算5－的运算结果应在( A )
A．2到3之间 B．3到4之间
C．1到2之间 D．4到5之间