勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
符号语言：在△ABC中，
∵a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
运用勾股定理的逆定理时：(1)不能机械地认为Rt△ABC中，边长为c的边所对的角必是直角，应是最长边所对的角是直角；(2)不要习惯性的验证a2＋b2是否等于c2，而要看最长边的平方是否等于另两边的平方和．
勾股数组
一般的，把满足a2＋b2＝c2的三个__正整数__称为勾股数组．
利用勾股定理的逆定理判定三角形形状
典例1 [2024·菏泽期末]如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m.
典例1图
(1)求边BC的长；
(2)连接AC，判断△ADC的形状．
(1)利用勾股定理以及线段中点的性质即可；
(2)通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．
解：(1)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
在Rt△ABE中，
∵AB＝15 m，AE＝12 m，
∴BE＝＝＝9(m)．
∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝18(m)；
(2)∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AC＝AB＝15 m.
∵AD＝17 m，CD＝8 m，
∴CD2＋AC2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ADC是直角三角形．
变式 [2024·威海期末]△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件不能使△ABC为直角三角形的是( D )
A．a＝b＝，c＝2
B．∠A＝∠B＋∠C
C．a＝5，b＝12，c＝13
D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
利用勾股定理的逆定理判断两线段的位置关系
典例2 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝.
(1)求AC，CE的长；
(2)求证：AC⊥CE.
典例2图
(1)根据勾股定理即可求出AC和CE的长；
(2)根据勾股定理的逆定理判定即可．
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝.
∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝；
(2) 证明：∵AC＝，CE＝，AE＝，
∴AE2＝AC2＋CE2，
∴∠ACE＝90°，∴AC⊥CE.
变式 如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8.在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2 .
求证：AB∥DC.
变式图
证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝＝＝6.
∵BC＝8，CD＝2 ，
∴62＋(2 )2＝82，即BD2＋CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥DC.
勾股数组的规律探究
典例3 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c.
根据你发现的规律，请写出：
(1)当a＝19时，求b，c的值；
(2)当a＝2n＋1(n为正整数)时，求b，c的值；
(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
(1)仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b，c的值；
(2)根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b，c的值；
(3)将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．
解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c－b＝1，
∵a＝19，a2＋b2＝c2，
∴192＋b2＝(b＋1)2，
∴b＝180，∴c＝181；
(2)通过观察知c－b＝1，
∵(2n＋1)2＋b2＝c2，
∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2，
∴b＋c＝(2n＋1)2，
又∵c＝b＋1，
∴2b＋1＝(2n＋1)2，
∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；
(3)由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1为一组勾股数，
当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1，
但2n2＋2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
变式 王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含自然数n(n＞1)的代数式表示a，b，c；
(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想；
(3)观察下列勾股数：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402＝412.分析其中的规律，写出第5组勾股数．
解：(1)由图表可以得出：
∵n＝2时，a＝22－1，
b＝4＝2×2，c＝22＋1；
n＝3时，a＝32－1，b＝2×3，c＝32＋1；
n＝4时，a＝42－1，b＝2×4，c＝42＋1；
…；
∴a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1；
(2)∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形；
(3)由于32＋42＝52，
52＋122＝132，
72＋242＝252，
92＋402＝412，
由分析可得(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝(2n2＋2n＋1)2.
∴第五组的式子为112＋602＝612.
∴第五组勾股数为11，60，61.
勾股定理与逆定理的综合运用
典例4 [2024·德州期中]吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点C处，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A，B的距离分别为180 m和240 m，AB＝300 m，若吊车周围150 m以内会受噪声影响．
典例4图
(1)求∠ACB的度数；
(2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由．
(1)根据勾股定理的逆定理求解即可；
(2)过点C作CD⊥AB于点D，根据等面积法求出CD＝144 m，结合题意可得街道上的居民会受到噪声的影响，当EC＝150 m，FC＝150 m时，EF范围内的居民会受影响．由勾股定理得ED＝＝42(m)，推出DF＝ED＝42 m，即可求解．
解：(1)∵AC＝180 m，BC＝240 m，AB＝300 m，
∴AC2＋BC2＝1802＋2402＝90 000，AB2＝3002＝90 000，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；
(2)街道上的居民会受到噪声的影响，
理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
典例4图
由(1)，得∠ACB＝90°，
∴AC·BC＝CD·AB，
∴×180×240＝×300·CD，
解得CD＝144 m，
∵吊车周围150 m以内会受到噪声的影响，
∴街道上的居民会受到噪声的影响．
当EC＝150 m，FC＝150 m时，EF范围内的居民会受影响．
∴ED＝＝＝42(m)，
∴DF＝ED＝42 m，
即会影响位于吊车垂直位置左右各42 m街道上的居民，即EF范围内的居民会受影响．(说法合理即可)
变式 [2024·临沂期中]如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝9米，CD＝20米，AD＝25米，若种植草皮费用为5元/平方米，求种植此块草皮的费用．
变式图
解：如图，连接AC，
变式图
∵∠B＝90°，
∴AC2＝AB2＋BC2＝122＋92＝152，
在△ADC中，AD2＝252，CD2＝202，
而152＋202＝252，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴种植草皮的面积为S四边形ABCD＝S△ADC－S△ABC
＝AC·CD－AB·BC
＝×15×20－×12×9
＝96(平方米)，
96×5＝480(元)．
答：种植此块草皮的费用为480元．
1．[2024·枣庄期中]下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( A )
A．a∶b∶c＝1∶2∶3
B．a2＋c2＝b2
C．∠A＋∠B＝∠C
D．a＝3，b＝4，c＝5
2．[2024·绥化期中]若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＝0，则△ABC的形状是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．无法确定
3．[2024·菏泽期中]在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝5，AB＝13，AD＝12，AC＝15，则△ABC的面积为( C )
A．30 B．42 C．84 D．100
4．[2024·南京期中]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝__45__°.
第4题图
5．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7，△ABE的面积为35.求：
(1)AB的长；
(2)四边形ACBE的面积．
第5题图
解：(1)∵DE＝7，△ABE的面积为35，DE是AB边上的高，
∴×AB×7＝35，∴AB＝10；
(2)在△ABC中，
∵BC＝6，AC＝8，
∴AC2＋BC2＝62＋82＝100，
∵AB＝10，
∴AB2＝100，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴四边形ACBE的面积S＝S△ABC＋S△ABE＝×6×8＋35＝59.勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
符号语言：在△ABC中，
∵a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
运用勾股定理的逆定理时：(1)不能机械地认为Rt△ABC中，边长为c的边所对的角必是直角，应是最长边所对的角是直角；(2)不要习惯性的验证a2＋b2是否等于c2，而要看最长边的平方是否等于另两边的平方和．
勾股数组
一般的，把满足a2＋b2＝c2的三个__ __称为勾股数组．
利用勾股定理的逆定理判定三角形形状
典例1 [2024·菏泽期末]如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m.
典例1图
(1)求边BC的长；
(2)连接AC，判断△ADC的形状．
变式 [2024·威海期末]△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件不能使△ABC为直角三角形的是( )
A．a＝b＝，c＝2
B．∠A＝∠B＋∠C
C．a＝5，b＝12，c＝13
D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
利用勾股定理的逆定理判断两线段的位置关系
典例2 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝.
(1)求AC，CE的长；
(2)求证：AC⊥CE.
典例2图
变式 如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8.在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2 .
求证：AB∥DC.
变式图
勾股数组的规律探究
典例3 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c.
根据你发现的规律，请写出：
(1)当a＝19时，求b，c的值；
(2)当a＝2n＋1(n为正整数)时，求b，c的值；
(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
变式 王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含自然数n(n＞1)的代数式表示a，b，c；
(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想；
(3)观察下列勾股数：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402＝412.分析其中的规律，写出第5组勾股数．
勾股定理与逆定理的综合运用
典例4 [2024·德州期中]吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点C处，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A，B的距离分别为180 m和240 m，AB＝300 m，若吊车周围150 m以内会受噪声影响．
典例4图
(1)求∠ACB的度数；
(2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由．
变式 [2024·临沂期中]如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝9米，CD＝20米，AD＝25米，若种植草皮费用为5元/平方米，求种植此块草皮的费用．
变式图
1．[2024·枣庄期中]下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A．a∶b∶c＝1∶2∶3
B．a2＋c2＝b2
C．∠A＋∠B＝∠C
D．a＝3，b＝4，c＝5
2．[2024·绥化期中]若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．无法确定
3．[2024·菏泽期中]在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝5，AB＝13，AD＝12，AC＝15，则△ABC的面积为( )
A．30 B．42 C．84 D．100
4．[2024·南京期中]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝__ __°.
第4题图
5．[2024·德州期中]如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝7，△ABE的面积为35.求：
(1)AB的长；
(2)四边形ACBE的面积．
第5题图
