平方根的定义
如果一个数x的__ __等于a，即__ __，那么x叫做a的平方根或二次方根，记作__ __，其中__ __叫做a的算术平方根．
平方根的性质
正数的平方根有两个，且__ __，0的平方根是__ __，负数没有平方根．
开平方
求一个数a的__ __的运算叫做开平方，a叫做__ __．
两个公式
1．(±)2＝a(a≥0)．
2.＝__ __＝
≥0(a≥0)，一个非负数的算术平方根总是非负数．与此类似的还有|a|≥0，an≥0(n为偶数)．
平方根的定义
典例1 [2024·滨州期中]下列说法不正确的是( )
A．0的算术平方根是0
B．(－2)2的平方根是2
C．正数的两个平方根互为相反数
D．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
变式 的平方根是( )
A．±8 B．±4 C．±2 D．±
利用平方根解方程
典例2 求下列各式中的x的值：
(1)9x2－25＝0；(2)(x－1)2＋8＝72；
变式 若3(x＋2)2－27＝0，则x＝__ __．
平方根性质的应用
典例3 已知2x－1的平方根是±6，2x＋y－1的算术平方根是5，则2x－3y＋11的平方根为__ __．
变式 [2024·日照期末]如果2a－1和5－a是一个数m的平方根，则m＝__ __．
1．[2024·菏泽期中]2的平方根是( )
A. B．± C. D．±
2．[2024·聊城期中]下列说法中，错误的是( )
A．0的平方根是0
B.的平方根是±9
C．2是4的平方根
D．算术平方根等于本身的数有1，0
3．[2024·临沂期中]已知一个正数的两个不同的平方根是2－3x和4x＋1，则这个正数是__ __．
4．[2024·德州期中]已知与互为相反数，则2a－3b的平方根为__ __．平方根的定义
如果一个数x的__平方__等于a，即__x2＝a__，那么x叫做a的平方根或二次方根，记作__±__，其中____叫做a的算术平方根．
平方根的性质
正数的平方根有两个，且__互为相反数__，0的平方根是__0__，负数没有平方根．
开平方
求一个数a的__平方根__的运算叫做开平方，a叫做__被开方数__．
两个公式
1．(±)2＝a(a≥0)．
2.＝____＝
≥0(a≥0)，一个非负数的算术平方根总是非负数．与此类似的还有|a|≥0，an≥0(n为偶数)．
平方根的定义
典例1 [2024·滨州期中]下列说法不正确的是( B )
A．0的算术平方根是0
B．(－2)2的平方根是2
C．正数的两个平方根互为相反数
D．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
运用平方根、算术平方根的知识进行逐一辨别、求解即可．
变式 的平方根是( C )
A．±8 B．±4 C．±2 D．±
利用平方根解方程
典例2 求下列各式中的x的值：
(1)9x2－25＝0；(2)(x－1)2＋8＝72；
根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
解：(1)移项，得9x2＝25，
两边都除以9，得x2＝，
由平方根的定义，得x＝±；
(2)(x－1)2＋8＝72，
移项，得(x－1)2＝72－8，
合并同类项，得(x－1)2＝64，
由平方根的定义，得x－1＝±8，
即x＝9或x＝－7.
变式 若3(x＋2)2－27＝0，则x＝__1或－5__．
平方根性质的应用
典例3 已知2x－1的平方根是±6，2x＋y－1的算术平方根是5，则2x－3y＋11的平方根为__±9__．
根据平方根和算术平方根的定义得出关于x，y的方程组，求出x，y的值，求出2x－3y＋11的值，根据平方根的定义求出即可．
变式 [2024·日照期末]如果2a－1和5－a是一个数m的平方根，则m＝__9或81__．
1．[2024·菏泽期中]2的平方根是( D )
A. B．± C. D．±
2．[2024·聊城期中]下列说法中，错误的是( B )
A．0的平方根是0
B.的平方根是±9
C．2是4的平方根
D．算术平方根等于本身的数有1，0
3．[2024·临沂期中]已知一个正数的两个不同的平方根是2－3x和4x＋1，则这个正数是__121__．
4．[2024·德州期中]已知与互为相反数，则2a－3b的平方根为__±4__．
