立方根
一般的，如果一个数x的__ __等于a，即__ __，那么x叫做a的立方根或三次方根，记作，读作“三次根号a”．
立方根的性质
(1)正数的立方根是__ __．
(2)0的立方根是__ __．
(3)负数的立方根是__ __．
三个关系式
(1)＝－；
(2)＝a；
(3)()3＝a.
开立方
求一个数的__ __的运算叫做开立方．
利用立方根的定义求未知数的值
典例1 求下列各式中x的值．
(1)(x＋2)3－9＝0；
(2)3(x－1)3＝－81.
变式 求下列各式中x的值．
(1)(x＋1)3＝64；(2)(x－1)3＝1.
立方根的性质
典例2 已知＝x－1，则x2－x的值为__ __．
变式 若与互为相反数，则的值为__ __．
平方根与立方根的综合应用
典例3 [2023·聊城期中]已知2a－1的平方根是±3，3a－b－1的立方根是2，则6a＋b的算术平方根为__ __．
变式 [2023·泉州期中]如果m＝是a＋b＋3的算术平方根，n＝是a＋2b的立方根，求m－n的平方根．
1．[2024·烟台期末]一个正方体的棱长为a，体积为b，则下列说法正确的是( )
A．b的立方根是±a B．a是b的立方根
C．a＝ D．b＝
2．[2023·商丘期中]2a－1的平方根为±3，3a－b＋1的立方根为2，则的值
为( )
A．－3 B．3
C．±3 D．不确定
3．[2024·济宁期中]若＋＝0，则a－b的立方根是__ __．
4．[2024·日照期末]已知是a＋3b的算术平方根，是1－a2的立方根，则ab的平方根为__ __．立方根
一般的，如果一个数x的__立方__等于a，即__x3＝a__，那么x叫做a的立方根或三次方根，记作，读作“三次根号a”．
立方根的性质
(1)正数的立方根是__正数__．
(2)0的立方根是__0__．
(3)负数的立方根是__负数__．
三个关系式
(1)＝－；
(2)＝a；
(3)()3＝a.
开立方
求一个数的__立方根__的运算叫做开立方．
利用立方根的定义求未知数的值
典例1 求下列各式中x的值．
(1)(x＋2)3－9＝0；
(2)3(x－1)3＝－81.
根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可．
解：(1)(x＋2)3＝9，(x＋2)3＝27，
x＋2＝3，
∴x＝1；
(2)(x－1)3＝－27，x－1＝－3，x＝－2.
变式 求下列各式中x的值．
(1)(x＋1)3＝64；(2)(x－1)3＝1.
解：(1)(x＋1)3＝64，∴x＋1＝4，
解得x＝3；
(2)(x－1)3＝1，(x－1)3＝27，
x－1＝3，x＝4.
立方根的性质
典例2 已知＝x－1，则x2－x的值为__0或2__．
根据一个数的立方根等于它本身，可求出x的值，再代入计算求值即可
变式 若与互为相反数，则的值为__3__．
平方根与立方根的综合应用
典例3 [2023·聊城期中]已知2a－1的平方根是±3，3a－b－1的立方根是2，则6a＋b的算术平方根为__6__．
根据平方根，立方根的定义列出关于a，b的方程组求出a，b的值，再代入求算术平方根即可．
变式 [2023·泉州期中]如果m＝是a＋b＋3的算术平方根，n＝是a＋2b的立方根，求m－n的平方根．
解：由题意，得
解得
∴m＝＝3，n＝＝2，
∴m－n的平方根为±＝±＝±1.
1．[2024·烟台期末]一个正方体的棱长为a，体积为b，则下列说法正确的是( B )
A．b的立方根是±a B．a是b的立方根
C．a＝ D．b＝
2．[2023·商丘期中]2a－1的平方根为±3，3a－b＋1的立方根为2，则的值
为( B )
A．－3 B．3
C．±3 D．不确定
3．[2024·济宁期中]若＋＝0，则a－b的立方根是__－2__．
4．[2024·日照期末]已知是a＋3b的算术平方根，是1－a2的立方根，则ab的平方根为__±3__．
