实数和分类
1．实数的定义：__有理数与无理数__统称为实数．
2．实数的分类
(1)按定义分：
(2)按性质分：
实数
与实数有关的概念和性质
名称 意义 性质
相反数 如果a是一个实数，那么－a表示a的相反数 a与b互为相反数 a＋b＝0
绝对值 (1)如果a是实数，那么|a|就是在数轴上表示数a的点到原点的距离．(2)实数a的绝对值记作|a| (1)正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.(2)任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|
倒数 a与互为倒数(其中a≠0) a与b互为倒数 ab＝1
实数与数轴上的点的关系
实数与数轴上的点一一对应．
利用数轴比较实数的大小
数轴上的任意两点，右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大．
有序实数对与平面直角坐标系中点的关系
把有序有理数对扩充到有序实数对后，每一个有序实数对都可以用直角坐标系中__唯一__的一个点来表示．反之，直角坐标系中的每一个点都表示一个__唯一__的有序实数对．因此，所有有序实数对与直角坐标系中所有点__一一对应__．
实数的运算
1．在实数的运算中，有理数的运算法则、运算律对实数同样适用．
2．实数的运算顺序：
先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．同级运算从左到右依次进行，有括号的要先算括号里面的．
实数的定义与分类
典例1 [2024·宿迁期中]把下列各数填入相应的集合里．(填序号)
①－ ②0 ③－(－32) ④0.101 001 000 1…(两个1之间的0逐渐增加) ⑤－3.2
⑥ ⑦－.
整数集合：{__②③__}；
负分数集合：{__⑤⑦__}；
正有理数集合：{__③⑥__}；
无理数集合：{__①④__}．
本题考查了实数的分类，利用实数的分类逐一判断各个数即可．
变式 实数，3.14，，，1.732，，，0.，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的个数逐次加1)中，无理数的个数为( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
实数的性质
典例2 下列各组数中互为相反数的是( D )
A．|－2|与2
B．－2与
C．－2与－
D．－2与
根据相反数的定义逐项判断即可．
变式 [2023春·安达期中]已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值．
解：∵a，b互为倒数，
∴ab＝1.
∵c，d互为相反数，
∴c＋d＝0.
∵e的绝对值为，
∴e＝±.
∵f的算术平方根是8，
∴＝8，
∴f＝64，
∴当e＝时，
原式＝×1＋＋()2＋＝；
当e＝－时，
原式＝×1＋＋(－)2＋＝.
综上所述，原式＝.
数轴上点与实数的位置关系
典例3 [2024·德州期中]实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简－的结果为( A )
典例3图
A．b B．－2a＋b
C．2a＋b D．2a－b
先根据数轴，得到a<0b，进而得到a＋b<0，再根据绝对值和算术平方根的定义，进行化简即可．
变式 [2025·金华期中]把下列各数表示在数轴上，并用“<”号把它们连接起来．
4，－2.5，|－1.5|，0，(标出大致位置即可)
变式图
解：|－1.5|＝1.5，
∵()2＝3，2.25<3<4，
∴1.5<<2，
各数在数轴上表示如图：
变式图
由数轴可得：－2.5<0<|－1.5|<<4.
实数的运算
典例4 计算：
(1)－－＋；
(2)＋|－2|－(－2)2＋|－|.
(1)先根据平方、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可；
(2)先根据平方、绝对值、算术平方根进行化简，再计算即可．
解：(1)原式＝4－(－2)－＋
＝4－(－2)－1＋＝；
(2)原式＝＋2－－4＋
＝2＋2－4＝0.
变式 [2024·滨州期末]计算：－＋＋＝__－__．
在直角坐标系中求点的坐标
典例5 [2023·临沂期末]如图，菱形的边长为，∠ABC＝45°，则点D的坐标为__(1＋，1)__．
典例5图
过点D作DE⊥x轴，垂足为E，根据菱形的性质得到CO＝DC＝，∠DCE＝45°，然后利用勾股定理得到CE＝DE＝1，进而求解即可．
变式 [2024·淄博期中]我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则C点的对应点C′的坐标为( A )
变式图
A．(2，) B．(2，2)
C．(1，) D．(，1)
1．[2024·泰安期末]在0，，－4.3，，1.，3.141 592中，无理数的个数有( A )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．[2024·聊城三模]下列各数中，绝对值最小的数是( B )
A．－10 B．－
C．1 D.
3．[2024·西安一模]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形ABCDEF，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为( C )
第3题图
A．(3，) B．(，4)
C．(4，) D．(3，2)
4．[2024·济宁期中](1)计算：－＋；
(2)把下列各数：－2.5，0，，在数轴上表示出来，并将这些数用“<”连接．
第4题图
解：(1)原式＝2－(2－)＋(－3)
＝2－2＋－3
＝－3；
(2)＝，
第4题图
－2.5<0<<.实数和分类
1．实数的定义：__ __统称为实数．
2．实数的分类
(1)按定义分：
(2)按性质分：
实数
与实数有关的概念和性质
名称 意义 性质
相反数 如果a是一个实数，那么－a表示a的相反数 a与b互为相反数 a＋b＝0
绝对值 (1)如果a是实数，那么|a|就是在数轴上表示数a的点到原点的距离．(2)实数a的绝对值记作|a| (1)正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.(2)任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|
倒数 a与互为倒数(其中a≠0) a与b互为倒数 ab＝1
实数与数轴上的点的关系
实数与数轴上的点一一对应．
利用数轴比较实数的大小
数轴上的任意两点，右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大．
有序实数对与平面直角坐标系中点的关系
把有序有理数对扩充到有序实数对后，每一个有序实数对都可以用直角坐标系中__ __的一个点来表示．反之，直角坐标系中的每一个点都表示一个__ __的有序实数对．因此，所有有序实数对与直角坐标系中所有点__ __．
实数的运算
1．在实数的运算中，有理数的运算法则、运算律对实数同样适用．
2．实数的运算顺序：
先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．同级运算从左到右依次进行，有括号的要先算括号里面的．
实数的定义与分类
典例1 [2024·宿迁期中]把下列各数填入相应的集合里．(填序号)
①－ ②0 ③－(－32) ④0.101 001 000 1…(两个1之间的0逐渐增加) ⑤－3.2
⑥ ⑦－.
整数集合：{__ __}；
负分数集合：{__ __}；
正有理数集合：{__ __}；
无理数集合：{__ __}．
变式 实数，3.14，，，1.732，，，0.，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的个数逐次加1)中，无理数的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
实数的性质
典例2 下列各组数中互为相反数的是( )
A．|－2|与2
B．－2与
C．－2与－
D．－2与
变式 [2023春·安达期中]已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值．
数轴上点与实数的位置关系
典例3 [2024·德州期中]实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简－的结果为( )
典例3图
A．b B．－2a＋b
C．2a＋b D．2a－b
变式 [2025·金华期中]把下列各数表示在数轴上，并用“<”号把它们连接起来．
4，－2.5，|－1.5|，0，(标出大致位置即可)
变式图
实数的运算
典例4 计算：
(1)－－＋；
(2)＋|－2|－(－2)2＋|－|.
变式 [2024·滨州期末]计算：－＋＋＝__ __．
在直角坐标系中求点的坐标
典例5 [2023·临沂期末]如图，菱形的边长为，∠ABC＝45°，则点D的坐标为__ __．
典例5图
变式 [2024·淄博期中]我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则C点的对应点C′的坐标为( )
变式图
A．(2，) B．(2，2)
C．(1，) D．(，1)
1．[2024·泰安期末]在0，，－4.3，，1.，3.141 592中，无理数的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．[2024·聊城三模]下列各数中，绝对值最小的数是( )
A．－10 B．－
C．1 D.
3．[2024·西安一模]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形ABCDEF，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为( )
第3题图
A．(3，) B．(，4)
C．(4，) D．(3，2)
4．[2024·济宁期中](1)计算：－＋；
(2)把下列各数：－2.5，0，，在数轴上表示出来，并将这些数用“<”连接．
第4题图
