作差法比较两个实数的大小
通常我们可以用__作差法__的方法比较两个实数的大小．
即对于任意实数a，b，
如果a－b是正数，那么a__＞__b；
如果a－b等于零，那么a__＝__b；
如果a－b是负数，那么a__＜__b.
不等式
(1)定义：用__“＞”或“＜”__表示__不等__关系的式子，叫做不等式．
(2)常用的不等符号及对应的实际意义
符号 实际意义 读法
＜ 小于、低于、少于、不足 小于
＞ 大于、超过、多于、高于 大于
≤ 不大于、不超过、至多、不高于 小于或等于
≥ 不小于、不低于、至少、不少于 大于或等于
≠ 不相等 不等于
不等式的基本性质
1．不等式的两边同时__加上(或减去)__同一个整式，不等号的方向__不变__．
即如果a>b，那么a＋c__＞__b＋c，a－c__＞__b－c.
2．不等式的两边都乘(或除以)同一个__正__数，不等号的方向__不变__．
即如果a>b，c>0，那么ac__＞__bc，__＞__.
3．不等式的两边都乘(或除以)同一个__负__数，不等号的方向__改变__．
即如果a>b，c<0，那么ac__＜__bc，__＜__.
用作差法比较实数的大小
典例1 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若A－B＞0，则A＞B，若A－B＝0，则A＝B，若A－B＜0，则A＜B.这种比较大小的方法称作“作差法”，请运用这种方法尝试解决下列问题：
(1)比较3a2－2b＋1与5＋3a2－2b＋b2的大小；
(2)比较a＋b与a－b的大小；
(1)，(2)根据题意列出整式相减的式子，再去括号，合并同类项即可求解．
解：(1)∵(3a2－2b＋1)－(5＋3a2－2b＋b2)
＝3a2－2b＋1－5－3a2＋2b－b2
＝－4－b2，
∵b2≥0，
∴－b2≤0，
∴－4－b2＜0，
∴3a2－2b＋1＜5＋3a2－2b＋b2；
(2)∵(a＋b)－(a－b)
＝a＋b－a＋b＝2b，
∴当b＞0时，a＋b＞a－b；
当b＝0时，a＋b＝a－b；
当b＜0时，a＋b＜a－b.
变式 [2023·茂名期中]比较大小：
(1)①如果a－b<0，那么a____b；
②如果a－b＝0，那么a____b；
③如果a－b>0，那么a____b；
(2)用(1)的方法你能否比较3x2－3x＋7与4x2－3x＋7的大小？如果能，请写出比较过程．
解：(1)①< ②＝ ③>；
(2)能，比较过程如下：
(3x2－3x＋7)－(4x2－3x＋7)
＝3x2－3x＋7－4x2＋3x－7＝－x2≤0，
所以3x2－3x＋7≤4x2－3x＋7.
不等式的定义
典例2 下列数学表达式：①－2<0 ②2y－5>1 ③m＝1 ④x2－x ⑤x≠－2
⑥x＋1<2x－1.其中是不等式的有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
根据不等式的定义逐个判断即可．
变式 下列式子：①3＞0 ②4x＋5＞0
③x＜3 ④x2＋x ⑤x＝－4 ⑥x＋2＞x＋1.其中不等式有( B )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
不等式的基本性质(不含字母)
角度一：利用不等式的基本性质将不等式变形
典例3 [2024·广州]若aA．a＋3>b＋3 B．a－2>b－2
C．－a<－b D．2a<2b
根据不等式性质逐项判断，即可解题．
变式 试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式(a为常数)．
(1)x＞－x－2；
(2)x≤(6－x)．
解：(1)利用不等式的基本性质1，在不等式的两边都加上x，得x＋x＞－x＋x－2，
即x＞－2；
(2)根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以2，得x×2≤(6－x)×2，
即x≤6－x，①
再由不等式的基本性质1，在不等式①的两边同时加上同一个整式x，得
2x≤6，②
最后利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以2，得x≤3.
角度二：根据不等式确定未知量的取值范围
典例4 [2024·深圳期末]若不等式(m－3)y－1>0(m为常数，且m≠3)可变形为y<，则m的取值范围是__m<3__．
本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
变式 已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜.试化简：|m－1|－|2－m|.
解：因为(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜，
所以m－1＜0，m＜1，
所以2－m＞0，
所以|m－1|－|2－m|＝(1－m)－(2－m)＝
1－m－2＋m＝－1.
1．[2024·济南期中]下列各式：①x＋3≠0
②－3<0 ③3m＝5 ④a2＋2ab＋b2
⑤3a＋2b<0.其中属于不等式的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[2024·周口期末]已知xA．x＋3C．－3x>－3y D．－x－1<－y－1
3．[2024·和平期末]有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是( B )
第3题图
A．－5a<－3a B．a＋cC．ac2>bc2 D．b－c4．[2023·松原期中]用不等式表示：x的2倍与y的的和不大于5，正确的是( D )
A．2x＋y>5 B．2x＋y≥5
C．2≤5 D．2x＋y≤5
5．[2023·无锡三模]已知关于x的不等式(a＋2)x<1可化为x>的形式，则a的取值范围为__a<－2__．
6．比较两个实数的大小，则__＜__1.(填“＜”“＝”或“＞”)作差法比较两个实数的大小
通常我们可以用__ __的方法比较两个实数的大小．
即对于任意实数a，b，
如果a－b是正数，那么a__ __b；
如果a－b等于零，那么a__ __b；
如果a－b是负数，那么a__ __b.
不等式
(1)定义：用__ __表示__ __关系的式子，叫做不等式．
(2)常用的不等符号及对应的实际意义
符号 实际意义 读法
＜ 小于、低于、少于、不足 小于
＞ 大于、超过、多于、高于 大于
≤ 不大于、不超过、至多、不高于 小于或等于
≥ 不小于、不低于、至少、不少于 大于或等于
≠ 不相等 不等于
不等式的基本性质
1．不等式的两边同时__ __同一个整式，不等号的方向__ __．
即如果a>b，那么a＋c__ __b＋c，a－c__ __b－c.
2．不等式的两边都乘(或除以)同一个__ __数，不等号的方向__ __．
即如果a>b，c>0，那么ac__ __bc，__ __.
3．不等式的两边都乘(或除以)同一个__ __数，不等号的方向__ __．
即如果a>b，c<0，那么ac__ __bc，__ __.
用作差法比较实数的大小
典例1 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若A－B＞0，则A＞B，若A－B＝0，则A＝B，若A－B＜0，则A＜B.这种比较大小的方法称作“作差法”，请运用这种方法尝试解决下列问题：
(1)比较3a2－2b＋1与5＋3a2－2b＋b2的大小；
(2)比较a＋b与a－b的大小；
变式 [2023·茂名期中]比较大小：
(1)①如果a－b<0，那么a____b；
②如果a－b＝0，那么a____b；
③如果a－b>0，那么a____b；
(2)用(1)的方法你能否比较3x2－3x＋7与4x2－3x＋7的大小？如果能，请写出比较过程．
不等式的定义
典例2 下列数学表达式：①－2<0 ②2y－5>1 ③m＝1 ④x2－x ⑤x≠－2
⑥x＋1<2x－1.其中是不等式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式 下列式子：①3＞0 ②4x＋5＞0
③x＜3 ④x2＋x ⑤x＝－4 ⑥x＋2＞x＋1.其中不等式有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
不等式的基本性质(不含字母)
角度一：利用不等式的基本性质将不等式变形
典例3 [2024·广州]若aA．a＋3>b＋3 B．a－2>b－2
C．－a<－b D．2a<2b
变式 试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式(a为常数)．
(1)x＞－x－2；
(2)x≤(6－x)．
角度二：根据不等式确定未知量的取值范围
典例4 [2024·深圳期末]若不等式(m－3)y－1>0(m为常数，且m≠3)可变形为y<，则m的取值范围是__ __．
变式 已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜.试化简：|m－1|－|2－m|.
1．[2024·济南期中]下列各式：①x＋3≠0
②－3<0 ③3m＝5 ④a2＋2ab＋b2
⑤3a＋2b<0.其中属于不等式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．[2024·周口期末]已知xA．x＋3C．－3x>－3y D．－x－1<－y－1
3．[2024·和平期末]有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是( )
第3题图
A．－5a<－3a B．a＋cC．ac2>bc2 D．b－c4．[2023·松原期中]用不等式表示：x的2倍与y的的和不大于5，正确的是( )
A．2x＋y>5 B．2x＋y≥5
C．2≤5 D．2x＋y≤5
5．[2023·无锡三模]已知关于x的不等式(a＋2)x<1可化为x>的形式，则a的取值范围为__ __．
6．比较两个实数的大小，则__ __1.(填“＜”“＝”或“＞”)
