不等式的解
在实数范围内，能够使不等式成立的__ __，叫做不等式的解．
不等式的解集
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的__ __，叫做这个不等式的解集．
不等式的解集在数轴上的表示
在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向．
(1)边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
(2)方向：大于向右，小于向左．
不等式的解(解集)
典例1 [2023春·蜀山期中]下列说法错误的是( )
A．不等式－3x＞9的解集为x＞－3
B．－2是不等式2x－1＜0的一个解
C．不等式x＜10的整数解有无数个
D．不等式x＜2的正整数解只有一个
变式 [2024·泰州期末]若x＝1是某不等式的一个解，则该不等式可以是( )
A．x>2 B．x>3 C．x<3 D．x<1
不等式解集的数轴表示
典例2 [2023·沈阳]不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是( )
用数轴表示不等式的解集时，掌握“两定”：一是定边界点，一般在数轴上只标出原点和边界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
变式 [2024·临沂期末]一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是( )
变式图
A．x－2<0 B．x＋2<0
C．2x≥4 D．2－x<0
1．[2024·眉山期中]下列不等式的解集中，不包括－4的是( )
A．x≤4 B．x≥－4
C．x≤－5 D．x≥－5
2．[2020·株洲]下列哪个数是不等式2(x－1)＋3<0的一个解( )
A．－3 B．－ C. D．2
3．下列说法正确的是( )
A．x≤2的正整数解只有一个
B．x＝－3是2x－1<0的解
C．不等式－3x>12的解集是x>－4
D．不等式x<10的整数解有10个
4．[2023·合肥期中]已知关于x的不等式x－a>1的解集如图所示，则a的值等于__ __．
第4题图
5．不等式x≥－2的负整数解是__ __.不等式的解
在实数范围内，能够使不等式成立的__未知数的值__，叫做不等式的解．
不等式的解集
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的__集合__，叫做这个不等式的解集．
不等式的解集在数轴上的表示
在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向．
(1)边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
(2)方向：大于向右，小于向左．
不等式的解(解集)
典例1 [2023春·蜀山期中]下列说法错误的是( A )
A．不等式－3x＞9的解集为x＞－3
B．－2是不等式2x－1＜0的一个解
C．不等式x＜10的整数解有无数个
D．不等式x＜2的正整数解只有一个
根据不等式解集和不等式解的概念求解即可．
变式 [2024·泰州期末]若x＝1是某不等式的一个解，则该不等式可以是( C )
A．x>2 B．x>3 C．x<3 D．x<1
不等式解集的数轴表示
典例2 [2023·沈阳]不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是( B )
用数轴表示不等式的解集时，掌握“两定”：一是定边界点，一般在数轴上只标出原点和边界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
变式 [2024·临沂期末]一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是( A )
变式图
A．x－2<0 B．x＋2<0
C．2x≥4 D．2－x<0
1．[2024·眉山期中]下列不等式的解集中，不包括－4的是( C )
A．x≤4 B．x≥－4
C．x≤－5 D．x≥－5
2．[2020·株洲]下列哪个数是不等式2(x－1)＋3<0的一个解( A )
A．－3 B．－ C. D．2
3．下列说法正确的是( B )
A．x≤2的正整数解只有一个
B．x＝－3是2x－1<0的解
C．不等式－3x>12的解集是x>－4
D．不等式x<10的整数解有10个
4．[2023·合肥期中]已知关于x的不等式x－a>1的解集如图所示，则a的值等于__－2__．
第4题图
5．不等式x≥－2的负整数解是__－2，－1__.一元一次不等式
不等号的左右两边都是__ __，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是__ __，像这样的不等式叫做一元一次不等式．
解不等式
求不等式__ __的过程叫做解不等式．
一元一次不等式的解法
步骤：(1)__ __；(2)__ __；
(3)__ __；(4)__ __；
(5)__ __．
(1)去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项．
(2)去括号时，若括号前面有负号，括号里的每一项都要变号．
(3)移项时不要忘记变号．
(4)在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
一元一次不等式概念的应用
典例1 若(m＋1)xm2－3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为( )
A．±1 B．1 C．－1 D．0
变式 若不等式3(x－1)≤mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式，求m，n的取值．
解一元一次不等式
典例2 [2024·眉山]解不等式：－1≤，并把它的解集表示在数轴上．
典例2图
变式 当x取何值时，代数式与的值的差不大于1.
一元一次不等式的特殊解
典例3 [2023春·海门期末]解不等式：2＋<3－，并写出所有的非负整数解．
变式 [2024·济宁二模]解不等式：－<1，并写出所有的非正整数解．
不等式与方程的综合应用
典例4 已知不等式5x－2<6x＋1的最小整数解，是方程－＝6的解，则a的值为__ __．
变式 已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解适合不等式2(x－5)＞8a，则a的取值范围为__ __．
1．[2024·郑州期中]下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A．2x－3>0 B．2x－1>3y＋4
C．2>－3 D．3y＋2<
2．[2024·济南期中]不等式x≤2x＋1的解集在数轴上表示正确的是( )
3．不等式x－2≤14－3x的非负整数解有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．[2024·菏泽期中]关于x的一元一次方程(2＋a)x－4＝4ax的解为负数，则a的取值范围是__ __．
5．[2024·枣庄期中]解下列不等式，并将它们的解集在数轴上表示出来．
(1)2x－(9x＋4)<3；
(2)－≤1.一元一次不等式
不等号的左右两边都是__整式__，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是__一次__，像这样的不等式叫做一元一次不等式．
解不等式
求不等式__解集__的过程叫做解不等式．
一元一次不等式的解法
步骤：(1)__去分母__；(2)__去括号__；
(3)__移项__；(4)__合并同类项__；
(5)__系数化为1__．
(1)去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项．
(2)去括号时，若括号前面有负号，括号里的每一项都要变号．
(3)移项时不要忘记变号．
(4)在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
一元一次不等式概念的应用
典例1 若(m＋1)xm2－3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为( B )
A．±1 B．1 C．－1 D．0
根据一元一次不等式的概念进行求解即可．
变式 若不等式3(x－1)≤mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式，求m，n的取值．
解：由不等式3(x－1)≤mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式，得
mx2＋(n－3)x≥0，
∴m＝0，n－3≠0.
解得n≠3，m＝0.
解一元一次不等式
典例2 [2024·眉山]解不等式：－1≤，并把它的解集表示在数轴上．
典例2图
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出即可．
解：－1≤，
去分母，得2(x＋1)－6≤3(2－x)，
去括号，得2x＋2－6≤6－3x，
移项，得2x＋3x≤6＋6－2，
合并同类项，得5x≤10，
系数化为1，得x≤2，
其解集在数轴上表示如下：
典例2图
变式 当x取何值时，代数式与的值的差不大于1.
解：由题意可得－≤1，
去分母，得3(x＋3)－2(2x－1)≤6，
去括号，得3x＋9－4x＋2≤6，
移项，得3x－4x≤6－2－9，
合并同类项，得－x≤－5，
系数化为1，得x≥5.
一元一次不等式的特殊解
典例3 [2023春·海门期末]解不等式：2＋<3－，并写出所有的非负整数解．
不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所有的非负整数解即可．
解：去分母，得16＋3x－2＜24－2(x－1)，
去括号，得16＋3x－2＜24－2x＋2，
移项，得3x＋2x＜24＋2－16＋2，
合并同类项，得5x＜12，
系数化为1，得x＜，
则不等式的所有非负整数解为0，1，2.
变式 [2024·济宁二模]解不等式：－<1，并写出所有的非正整数解．
解：－<1，
3(x－5)－2(4x－3)<6，
3x－15－8x＋6<6，
－5x<15，
解得x>－3，
∴非正整数解为0，－1，－2.
不等式与方程的综合应用
典例4 已知不等式5x－2<6x＋1的最小整数解，是方程－＝6的解，则a的值为____．
解一元一次不等式，求出x的最小整数值，然后将x的最小整数值代入方程求解即可．
变式 已知关于x的方程3(x－2a)＋2＝x－a＋1的解适合不等式2(x－5)＞8a，则a的取值范围为__a<－__．
1．[2024·郑州期中]下列各式中，是一元一次不等式的是( A )
A．2x－3>0 B．2x－1>3y＋4
C．2>－3 D．3y＋2<
2．[2024·济南期中]不等式x≤2x＋1的解集在数轴上表示正确的是( B )
3．不等式x－2≤14－3x的非负整数解有( B )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．[2024·菏泽期中]关于x的一元一次方程(2＋a)x－4＝4ax的解为负数，则a的取值范围是__a>__．
5．[2024·枣庄期中]解下列不等式，并将它们的解集在数轴上表示出来．
(1)2x－(9x＋4)<3；
(2)－≤1.
解：(1)2x－(9x＋4)<3
2x－9x－4<3
－7x<7
x>－1，
解集在数轴上表示为：
第5题图
(2)－ ≤1
2(x－3)－(4x－1) ≤4
2x－6－4x＋1 ≤4
－2x ≤9
x ≥－，
解集在数轴上表示为：
第5题图
