8.4 一元一次不等式组 同步练习（学生版+答案版）2024-2025学年数学青岛版八年级下册

一元一次不等式组
由几个含有同一个未知数x的一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
基本特征：(1)所含未知数相同；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)不等式的个数必须不小于2.
一元一次不等式组的解集
一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的__公共部分__叫做这个一元一次不等式组的解集．
公共部分是指数轴上被两个不等式的解集区域都覆盖的部分，若无公共部分，则说明这个不等式组无解．
一元一次不等式组的解集的四种情况
不等式组(a解集 x>b x图示
口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找
一元一次不等式组的解法
1．分别求出不等式组中各个不等式的解集；
2．利用__数轴__求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
一元一次不等式组的定义
典例1 　[2024·郑州期中]下列各项中，是一元一次不等式组的是( D )
A. B.
C. D.
根据一元一次不等式组的定义逐项判断．
变式 下列不等式组：
① ②
③ ④
⑤
其中一元一次不等式组的个数是( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解不等式组
典例2 [2024·雅安]不等式组的解集在数轴上表示为( C )
A.
B.
C.
D.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找，确定不等式组的解集．
变式1 [2024·北京]解不等式组：
解：
解不等式①，得x<7，
解不等式②，得x>－1，
∴不等式组的解集为－1变式2 解不等式：－3≤＜5.
解：方法一：原不等式可化为：
解①，得x≥－4，
解②，得x＜8.
则不等式的解集为－4≤x＜8.
方法二：将不等式的左边、中间和右边分别乘3，得
－9≤2x－1＜15，
将不等式的左边、中间和右边分别加1，得
－8≤2x＜16，
将不等式的左边、中间和右边分别除以2，得
－4≤x＜8.
1．[2024·临沂期末]如果点P(m，1－2m)在第二象限，那么m的取值范围是( C )
A．0C．m<0 D．m<
2．[2024·菏泽期中]不等式组的解集是__x>3__．
3．下列不等式组：
① ②
③ ④
⑤其中是一元一次不等式组的有__2__个．
4．[2024·威海期末]解不等式组：
并把解集在数轴上表示出来．
解：
由①，得x≤1，
由②，得x>－2，
∴原不等式组的解集为－2把解集表示在数轴上如图：
第4题图一元一次不等式组的特殊解及求字母的取值范围
1．分别求出不等式组中各个不等式的解集；
2．利用__数轴__求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集；
3．判断含字母参数的解集在哪两个数值之间；
4．判断两端能不能取等号．
列一元一次不等式组解应用题的步骤
(1)分析问题中的__未知量与已知量___(题意)，设__未知量__；
(2)找出问题中的__已知量与未知量之间的不等__关系；
(3)根据__已知量与未知量之间的不等__关系列出一元一次不等式组；
(4)解不等式组并__检验是否符合题意__．
一元一次不等式组的特殊解
典例1 [2024·济南]解不等式组：
并写出它的所有整数解．
分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．
解：解不等式①，得x>－1，
解不等式②，得x<4，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
典例1图
∴原不等式组的解集是－1∴整数解为0，1，2，3.
变式 [2024·济南二模]不等式组
的所有整数解的和是( C )
A．9 B．7 C．5 D．3
不等式组中的参数问题
典例2 [2024·曲靖模拟]若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( A )
A．a≥3 B．a≤3 C．a>3 D．a<3
先解每个不等式，再根据无解确定a的范围．
变式1 [2024·南充]若关于x的不等式组的解集为x<3，则m的取值范围是( B )
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
变式2 [2023·重庆]若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＋＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是__4__．
不等式组的应用
典例3 [2024·临沂期末]“梅兰竹菊”是花中四君子，是中国传统文化中的象征，它们各自代表着不同的品质和精神．梅花象征着坚强，兰花象征着高洁，竹子象征着坚韧不屈，菊花象征着淡泊．某校为了落实双减政策，丰富学生的课外活动，开设了绘画社团，计划为学生购买水彩画、创意字当做教具，经过调查得知：每组水彩画比每组创意字的价格贵40元，买2组水彩画和3组创意字共用380元．
(1)求每组水彩画、创意字的价格分别是多少；
(2)若学校需购进水彩画、创意字共12组，总费用不超过900元，并且根据学生需求，要求购进创意字的数量必须低于水彩画数量的5倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
(1)设每组水彩画的价格是x元，每组创意字的价格是y元，列二元一次方程组，解方程组即可；
(2)列不等式组可求出购买方案种类，对比每种方案的费用即可求出最低费用．
解：(1)设每组水彩画的价格是x元，每组创意字的价格是y元，
依题意，得
解得
答：每组水彩画的价格是100元，每组创意字的价格是60元；
(2)设需购进水彩画m组，则需购进创意字(12－m)组，
由题意，得
解得2又∵m为正整数，
∴m可以取3，4，
∴共有2种购买方案，
方案1：购进3组水彩画，9组创意字，费用为3×100＋9×60＝840(元)；
方案2：购进4组水彩画，8组创意字，费用为4×100＋8×60＝880(元)．
∵840<880，
∴最低费用为840元．
变式 [2024·淄博期中]某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价格/(万元/台) 8 6
月处理污水量/(吨/月) 200 180
经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1 490 吨．
(1)企业有哪几种购买方案？
(2)哪种购买方案更省钱？
解：(1)设购买A型设备x台，B型设备(8－x)台，
由题意，得
解得≤x≤，
∵0∴x可取3和4，
答：企业有2种购买方案：购买A型设备3台，B型设备5台或购买A型设备4台， B型设备4台；
(2)当x＝3时，8×3＋6×(8－3)＝54(万元)，
当x＝4时，8×4＋6×(8－4)＝56(万元)，
∵54<56，
∴当购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱．
1．[2024·泸州一模]已知不等式组的解集是－2A．2 024 B．1 C．0 D．－1
2．[2024·青岛期中]如果不等式组的解集是xA．n≤5 B．n<5 C．n>5 D．n≥－5
3．[2024·南昌期末]若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为( B )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( B )
A．4 B．7 C．9 D．12
5．[2024·牡丹江一模]为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元．
解答下列问题：
(1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？
(2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6 000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案．
解：(1)设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．
根据题意，得
解得
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
(2)设甲种足球买m个，则乙种足球买(80－m)个．
解得20≤m≤22.
∵m为整数，∴m＝20，21，22.
∴学校共有三种方购买案；
(3)根据(2)，得到三种方案具体如下：
第一种方案：购买甲种足球20个、乙种足球60个；
第二种方案：购买甲种足球21个、乙种足球59个；
第三种方案：购买甲种足球22个、乙种足球58个；
由每队甲种足球至少3个，且每队分得两种足球数量分别相等，得这8个足球的购买方案如下：
第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个；
第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个；
第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个．一元一次不等式组的特殊解及求字母的取值范围
1．分别求出不等式组中各个不等式的解集；
2．利用__ __求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集；
3．判断含字母参数的解集在哪两个数值之间；
4．判断两端能不能取等号．
列一元一次不等式组解应用题的步骤
(1)分析问题中的__ ___(题意)，设__ __；
(2)找出问题中的__ __关系；
(3)根据__ __关系列出一元一次不等式组；
(4)解不等式组并__ __．
一元一次不等式组的特殊解
典例1 [2024·济南]解不等式组：
并写出它的所有整数解．
变式 [2024·济南二模]不等式组
的所有整数解的和是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
不等式组中的参数问题
典例2 [2024·曲靖模拟]若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a≤3 C．a>3 D．a<3
变式1 [2024·南充]若关于x的不等式组的解集为x<3，则m的取值范围是( )
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
变式2 [2023·重庆]若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＋＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是__ __．
不等式组的应用
典例3 [2024·临沂期末]“梅兰竹菊”是花中四君子，是中国传统文化中的象征，它们各自代表着不同的品质和精神．梅花象征着坚强，兰花象征着高洁，竹子象征着坚韧不屈，菊花象征着淡泊．某校为了落实双减政策，丰富学生的课外活动，开设了绘画社团，计划为学生购买水彩画、创意字当做教具，经过调查得知：每组水彩画比每组创意字的价格贵40元，买2组水彩画和3组创意字共用380元．
(1)求每组水彩画、创意字的价格分别是多少；
(2)若学校需购进水彩画、创意字共12组，总费用不超过900元，并且根据学生需求，要求购进创意字的数量必须低于水彩画数量的5倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
变式 [2024·淄博期中]某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价格/(万元/台) 8 6
月处理污水量/(吨/月) 200 180
经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1 490 吨．
(1)企业有哪几种购买方案？
(2)哪种购买方案更省钱？
1．[2024·泸州一模]已知不等式组的解集是－2A．2 024 B．1 C．0 D．－1
2．[2024·青岛期中]如果不等式组的解集是xA．n≤5 B．n<5 C．n>5 D．n≥－5
3．[2024·南昌期末]若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( )
A．4 B．7 C．9 D．12
5．[2024·牡丹江一模]为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元．
解答下列问题：
(1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？
(2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6 000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案．一元一次不等式组
由几个含有同一个未知数x的一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
基本特征：(1)所含未知数相同；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)不等式的个数必须不小于2.
一元一次不等式组的解集
一般地，一元一次不等式组中各个不等式的解集的__ __叫做这个一元一次不等式组的解集．
公共部分是指数轴上被两个不等式的解集区域都覆盖的部分，若无公共部分，则说明这个不等式组无解．
一元一次不等式组的解集的四种情况
不等式组(a解集 x>b x图示
口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找
一元一次不等式组的解法
1．分别求出不等式组中各个不等式的解集；
2．利用__ __求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
一元一次不等式组的定义
典例1 　[2024·郑州期中]下列各项中，是一元一次不等式组的是( )
A. B.
C. D.
变式 下列不等式组：
① ②
③ ④
⑤
其中一元一次不等式组的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解不等式组
典例2 [2024·雅安]不等式组的解集在数轴上表示为( )
A.
B.
C.
D.
变式1 [2024·北京]解不等式组：
变式2 解不等式：－3≤＜5.
1．[2024·临沂期末]如果点P(m，1－2m)在第二象限，那么m的取值范围是( )
A．0C．m<0 D．m<
2．[2024·菏泽期中]不等式组的解集是__ __．
3．下列不等式组：
① ②
③ ④
⑤其中是一元一次不等式组的有__ __个．
4．[2024·威海期末]解不等式组：
并把解集在数轴上表示出来．