商的算术平方根
商的算术平方根，等于__被除式的算术平方根除以除式的算术平方根__，如＝____(a≥0，b>0)．
商的算术平方根中除数b不能为0.
最简二次根式
最简二次根式要满足两个条件：(1)__被开方式中都不含分母__；(2)__被开方式中都不含有能开得尽方的因式__．
二次根式化简的结果都要化成有理式或最简二次根式．被开方式相同的二次根式叫做同类二次根式．
最简二次根式的识别
典例1 [2024·东营期末]下列各式是最简二次根式的是( D )
A. B. C. D.
变式 [2024·烟台期中]在根式①
② ③ ④中，最简二次根式是( C )
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
商的算术平方根
典例2 把下列各式化成最简二次根式：
(1)；(2)b；(3).
根据二次根式的性质以及最简二次根式的定义即可求出答案．
解：(1)＝＝；
(2)b＝b＝ ；
(3)＝＝.
变式 把下列各式化成最简二次根式：
(1)；(2)；(3)(a＞0，b＞0)；
(4)x2(x＞0)．
解：(1)＝ ；
(2)＝＝；
(3)＝＝；
(4)x2＝x2＝.
1．[2024·赣州期末]下列二次根式中是最简二次根式的是( A )
A. B. C. D.
2．下列二次根式：，，，，2，，中，最简二次根式的个数是( C )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．[2024·滨州期末]下列各式化成最简二次根式正确的是( D )
A.＝ B.＝5
C.＝ D.＝
4．[2024·烟台期中]将化为最简二次根式为____．
5．把下列各式化为最简二次根式：
(1)；(2)；(3).
解：(1)＝＝ ；
(2)原式＝＝＝＝；
(3)原式＝＝＝.二次根式的性质
1．()2＝a(a≥0)．
2.＝__|a|__．
()2中a≥0，结果是唯一的；中a可为任意实数，结果分a≥0和a<0讨论．
积的算术平方根
积的算术平方根，等于__积中各因式的算术平方根的积__，如＝__·__(a≥0，b≥0)．
＝|a|性质的应用
典例1 [2024·临沂期末]已知k>1，则－()2的化简结果是( B )
A．－1 B．－3
C．－1－2k D．2k－3
根据题意先得出1－k<0，再化简二次根式，计算乘方，最后合并同类项即可．
变式 [2024·东营期末]实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＋－的结果是( B )
变式图
A．－2 B．2a C．2b D．0
积的算术平方根
典例2 化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
根据积的算术平方根公式进行化简．
解：(1)＝×＝5×4＝20；
(2)＝＝9；
(3)＝＝2；
(4)＝＝4|x|.
变式 化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)＝×＝3×4＝12；
(2)＝×＝4×9＝36；
(3)＝×＝9×10＝90；
(4)＝＝×＝3 .
1．将化简，正确的结果是( A )
A．6 B．±6
C．3 D．±3
2．下列化简正确的是( B )
A.＝×＝6
B.＝×＝18
C.＝＋＝
D.＝×＝
3．化简下列各式：
(1)＝__10__；
(2)＝__42__；
(3)＝__0.45__；
(4)－＝__－3____；
(5)＝__a__；
(6)(m>0)＝__3m__．
4．[2024·聊城期中]实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋的结果是__－2a__．
第4题图
5．[2024·日照期中]已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：＋＋＋.
解：由三角形三边之间的关系可得：a＋b＋c>0，b＋c>a，a＋c>b，a＋b>c，
∴a－b－c<0，b－a－c<0，c－b－a<0，
∴原式＝(a＋b＋c)－(a－b－c)－(b－a－c)－(c－b－a)
＝a＋b＋c－a＋b＋c－b＋a＋c－c＋b＋a
＝2a＋2b＋2c.二次根式的定义
形如__ __的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方式．
其中a为整式或分式，像－，4 也是二次根式．
二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是被开方式是非负数，即在中，a≥0.确定被开方式中所含字母的取值范围时，可根据二次根式有意义的条件列出不等式(组)，然后通过解不等式(组)确定所含字母的取值范围．
二次根式的性质
()2＝__ __(a≥0)．
在等式()2＝a(a≥0)中，a ，()2都是非负数．
二次根式的定义
典例1 下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
变式 [2023春·宁阳期中]给出下列各式：
① ②6 ③ ④(m≤0) ⑤ ⑥.其中二次根式的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二次根式有意义的条件
典例2 [2024·滨州期末]式子有意义，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－3 B．a≠1
C．a≥－3且a≠1 D．a>－3或a≠1
变式 [2024·莱州期末]二次根式中，字母x不能取的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
()2＝a(a≥0)性质的应用
典例3 [2024·德州期中]若＋＋y＝5，那么的平方根是( )
A．2 B．4 C．±2 D．±4
变式 已知y＞＋＋2，则＋3－2x的值为__ __．
1．[2024·泰安期中]下列各式中，属于二次根式的是( )
A. B．2x＋1 C. D.
2．[2024·青岛期末]要使二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m>2
C．m≤2 D．m<2
3．已知＋＝0，则a2 025＋b2 024的值是__ __．
4．[2024·黔西南州期中]若＋(2a＋b－1)2＝0，则的值为__ __.二次根式的性质
1．()2＝a(a≥0)．
2.＝__ __．
()2中a≥0，结果是唯一的；中a可为任意实数，结果分a≥0和a<0讨论．
积的算术平方根
积的算术平方根，等于__ __，如＝__ __(a≥0，b≥0)．
＝|a|性质的应用
典例1 [2024·临沂期末]已知k>1，则－()2的化简结果是( )
A．－1 B．－3
C．－1－2k D．2k－3
变式 [2024·东营期末]实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＋－的结果是( )
变式图
A．－2 B．2a C．2b D．0
积的算术平方根
典例2 化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
变式 化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
1．将化简，正确的结果是( )
A．6 B．±6
C．3 D．±3
2．下列化简正确的是( )
A.＝×＝6
B.＝×＝18
C.＝＋＝
D.＝×＝
3．化简下列各式：
(1)＝__ __；
(2)＝__ __；
(3)＝__ __；
(4)－＝__ __ __；
(5)＝__ __；
(6)(m>0)＝__ __．
4．[2024·聊城期中]实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋的结果是__ __．
第4题图
5．[2024·日照期中]已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：＋＋＋.二次根式的定义
形如__(a≥0)__的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方式．
其中a为整式或分式，像－，4 也是二次根式．
二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是被开方式是非负数，即在中，a≥0.确定被开方式中所含字母的取值范围时，可根据二次根式有意义的条件列出不等式(组)，然后通过解不等式(组)确定所含字母的取值范围．
二次根式的性质
()2＝__a__(a≥0)．
在等式()2＝a(a≥0)中，a ，()2都是非负数．
二次根式的定义
典例1 下列各式中，一定是二次根式的是( B )
A. B.
C. D.
根据二次根式的定义逐个判断即可．
变式 [2023春·宁阳期中]给出下列各式：
① ②6 ③ ④(m≤0) ⑤ ⑥.其中二次根式的个数是( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
二次根式有意义的条件
典例2 [2024·滨州期末]式子有意义，则实数a的取值范围是( C )
A．a≥－3 B．a≠1
C．a≥－3且a≠1 D．a>－3或a≠1
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
变式 [2024·莱州期末]二次根式中，字母x不能取的值是( C )
A．－1 B．0 C．1 D．2
()2＝a(a≥0)性质的应用
典例3 [2024·德州期中]若＋＋y＝5，那么的平方根是( C )
A．2 B．4 C．±2 D．±4
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式组，求出x，y的值，再根据平方根的概念求解即可．
变式 已知y＞＋＋2，则＋3－2x的值为__1__．
1．[2024·泰安期中]下列各式中，属于二次根式的是( C )
A. B．2x＋1 C. D.
2．[2024·青岛期末]要使二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是( A )
A．m≥2 B．m>2
C．m≤2 D．m<2
3．已知＋＝0，则a2 025＋b2 024的值是__0__．
4．[2024·黔西南州期中]若＋(2a＋b－1)2＝0，则的值为____.商的算术平方根
商的算术平方根，等于__ __，如＝__ __(a≥0，b>0)．
商的算术平方根中除数b不能为0.
最简二次根式
最简二次根式要满足两个条件：(1)__ __；(2)__ __．
二次根式化简的结果都要化成有理式或最简二次根式．被开方式相同的二次根式叫做同类二次根式．
最简二次根式的识别
典例1 [2024·东营期末]下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
变式 [2024·烟台期中]在根式①
② ③ ④中，最简二次根式是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
商的算术平方根
典例2 把下列各式化成最简二次根式：
(1)；(2)b；(3).
变式 把下列各式化成最简二次根式：
(1)；(2)；(3)(a＞0，b＞0)；
(4)x2(x＞0)．
1．[2024·赣州期末]下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2．下列二次根式：，，，，2，，中，最简二次根式的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．[2024·滨州期末]下列各式化成最简二次根式正确的是( )
A.＝ B.＝5
C.＝ D.＝
4．[2024·烟台期中]将化为最简二次根式为__ __．
5．把下列各式化为最简二次根式：
(1)；(2)；(3).
