二次根式的乘法法则
·＝____(a≥0，b≥0)．
二次根式的乘法法则运用的条件是a≥0，b≥0.
二次根式的除法法则
＝____(a≥0，b＞0)．
二次根式的除法法则运用的条件是a≥0，b>0.
二次根式四则运算
在二次根式的四则运算时，实数的运算律和运算顺序都适用，乘法公式也同样适用．
运算结果必须化为整式或最简二次根式．
分母有理化(拓展)
1．有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，如和，＋和－互为有理化因式．
2．分母有理化：把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
3．依据：分式的基本性质．
4．方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号．
二次根式的乘、除运算
典例1 下列运算正确的是( D )
A.×＝ B．8 ×＝1
C.×＝12 D.÷＝3
根据二次根式的乘除法则化简即可．
变式 [2023春·前郭期中] ÷(－ )·(－ )．
解：原式＝··
＝·
＝
＝·
＝x2y.
二次根式的四则混合运算
典例2 (2 ＋)÷－×.
根据二次根式的混合运算法则即可求解．
解：原式＝(4 ＋3 )÷－
＝4 ＋3－2
＝4 ＋1.
变式 [2023·邹城二模]计算：(2－)2 022×(2＋)2 023－2－(－)0.
解：(2－)2 022×(2＋)2 023－2－(－)0
＝[(2－)(2＋)]2 022×(2＋)－2×－1
＝(4－3)2 022×(2＋)－2×－1
＝12 022×(2＋)－2×－1
＝1×(2＋)－2×－1
＝2＋－－1
＝1.
二次根式的化简求值
典例3 [2023·淄博期中]已知x＝(＋)，y＝(－)，则＋的值是__8__.
先结合已知条件求出(x＋y)，xy的值， 再整体代入所求分式 (通分后) 求值即可．
变式 [2024·淄博期中]已知x＝＋1，y＝－1.求x2＋3xy＋y2的值．
解：∵x＝＋1，y＝－1，
∴x＋y＝＋1＋－1＝2 ，
xy＝(＋1)(－1)＝5－1＝4，
∴x2＋3xy＋y2
＝x2＋2xy＋y2＋xy
＝(x＋y)2＋xy
＝(2 )2＋4
＝20＋4
＝24.
分母有理化
典例4 将下列各式分母有理化：
(1)＝__(m－n)__；
(2)＝__－1__；
(3)＝__a－__．
(1)将分子分母同乘，再进行约分化简；(2)将分子分母同乘3－2 ，再进行约分化简；(3)将分子分母同乘－，再进行约分化简．
变式 [2024·德州期中]我们知道(＋)(－)＝1，因此将分子、分母同时乘“－”，分母就变成了1，原式可以化简为－，所以有＝－.
请仿照上面的方法，解决下列各题．
(1)化简：＝____________，＝________；
(2)若x＝，y＝，求x2＋xy＋y2的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值：＋＋＋…＋.
解：(1)＝＝－2，
＝＝＋，
故答案为：－2，＋；
(2)x＝
＝
＝3－2 ，y＝＝3＋2 ，
x＋y＝(3－2 )＋(3＋2 )＝6，
xy＝(3－2 )(3＋2 )＝9－8＝1，
x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝62－1＝35；
(3)∵
＝
＝－，
∴原式＝－1＋－＋…＋－＋－
＝－1
＝17 －1.
1．[2024·泰安期中]下列各数中，与2＋互为倒数的是( A )
A．2－ B．2
C. D．2＋
2．[2024·南宁期中]计算(＋4)2 024(－4)2 023的结果是( D )
A.－4 B．4
C．－4 D.＋4
3．[2024·临沂期末]计算：＝__2____.
4．[2024·临沂期末]计算：
(1)＋×－；
(2)(＋)÷－(＋1)(－1)．
解：(1)原式＝3 ＋－＝；
(2)原式＝(2 ＋5 )÷－
＝2 ÷＋5 ÷－1
＝2 ＋5－1
＝2 ＋4.
5．[2024·达州期中]已知：x＝2＋，y＝2－，求：
(1)x2y＋xy2；
(2)x2－xy＋y2的值．
解：(1)∵x＝2＋，y＝2－，
∴x＋y＝4，xy＝1，
∴x2y＋xy2＝xy(x＋y)＝4×1＝4；
(2)∵x＝2＋，y＝2－，
∴x＋y＝4，xy＝1，
∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝42－3×1＝13.二次根式的乘法法则
·＝__ __(a≥0，b≥0)．
二次根式的乘法法则运用的条件是a≥0，b≥0.
二次根式的除法法则
＝__ __(a≥0，b＞0)．
二次根式的除法法则运用的条件是a≥0，b>0.
二次根式四则运算
在二次根式的四则运算时，实数的运算律和运算顺序都适用，乘法公式也同样适用．
运算结果必须化为整式或最简二次根式．
分母有理化(拓展)
1．有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，如和，＋和－互为有理化因式．
2．分母有理化：把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
3．依据：分式的基本性质．
4．方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号．
二次根式的乘、除运算
典例1 下列运算正确的是( )
A.×＝ B．8 ×＝1
C.×＝12 D.÷＝3
变式 [2023春·前郭期中] ÷(－ )·(－ )．
二次根式的四则混合运算
典例2 (2 ＋)÷－×.
变式 [2023·邹城二模]计算：(2－)2 022×(2＋)2 023－2－(－)0.
二次根式的化简求值
典例3 [2023·淄博期中]已知x＝(＋)，y＝(－)，则＋的值是__ __.
变式 [2024·淄博期中]已知x＝＋1，y＝－1.求x2＋3xy＋y2的值．
分母有理化
典例4 将下列各式分母有理化：
(1)＝__ __；
(2)＝__ __；
(3)＝__ __．
变式 [2024·德州期中]我们知道(＋)(－)＝1，因此将分子、分母同时乘“－”，分母就变成了1，原式可以化简为－，所以有＝－.
请仿照上面的方法，解决下列各题．
(1)化简：＝____________，＝________；
(2)若x＝，y＝，求x2＋xy＋y2的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值：＋＋＋…＋.
1．[2024·泰安期中]下列各数中，与2＋互为倒数的是( )
A．2－ B．2
C. D．2＋
2．[2024·南宁期中]计算(＋4)2 024(－4)2 023的结果是( )
A.－4 B．4
C．－4 D.＋4
3．[2024·临沂期末]计算：＝__ __ __.
4．[2024·临沂期末]计算：
(1)＋×－；
(2)(＋)÷－(＋1)(－1)．
5．[2024·达州期中]已知：x＝2＋，y＝2－，求：
(1)x2y＋xy2；
(2)x2－xy＋y2的值．
