一次函数的图象与画法
一般的，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条__直线__，所以也称为__直线__y＝kx＋b，画一次函数y＝kx＋b的图象，只需确定__两__点即可．
待定系数法
通过先设出函数表达式中的__未知数__，再根据条件，利用解方程或方程组确定这些__未知数__，这种方法叫待定系数法．
步骤：(1)设：设出含有待定系数的函数表达式y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)；
(2)代：把已知条件(自变量与对应的函数值)代入表达式，得到关于k，b的方程(组)；
(3)解：解方程(组)，求出k，b的值；
(4)写：将求出的k，b的值代回所设的函数表达式，写出所求的函数表达式．
一次函数图象的平移
平移前的表达式 移动方向 平移后的表达式 口诀
y＝kx＋b(k≠0) 向上平移m(m>0)个单位长度 y＝kx＋b＋m 上加下减，左加右减
向下平移m(m>0)个单位长度 y＝kx＋b－m
向左平移m(m>0)个单位长度 y＝k(x＋m)＋b
向右平移m(m>0)个单位长度 y＝k(x－m)＋b
一次函数的图象
典例1 先填表，再根据表中的数据在坐标系中画出一次函数y＝2x－6的图象．
(1)填空：
x 0 ____
y＝2x－6 ____ 0
(2)在坐标系中画出该函数的图象．
典例1图
(1)分别将x＝0和y＝0代入y＝2x－6，求出相应的y和x的值即可；
(2)根据(1)中所求两个点的坐标，画出函数图象即可解决问题．
解：(1)将x＝0代入y＝2x－6，得
y＝－6；
将y＝0代入y＝2x－6，得
2x－6＝0，
解得x＝3；
x 0 3
y＝2x－6 －6 0
(2)函数图象如图所示：
典例1图
变式 用“描点法”画出一次函数y＝3x－2的图象．
变式图
解：x＝0时，y＝－2；x＝1时，y＝1，
所以函数图象过点(0，－2)，(1，1)，
函数图象如图所示：
变式图
待定系数法求一次函数表达式
典例2 已知一次函数的图象经过点A(2，1)，B(－1，－3)，C(m，3)．求一次函数的表达式和m的值．
设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将A，B两点坐标代入可得出k和b的值，进而可得出函数表达式；再将C点坐标代入即可求得m的值．
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，1)和B(－1，－3)，
∴所求一次函数的表达式为y＝x－.
∵过点C(m，3)．∴m－＝3，解得m＝.
变式 [2024·广州期末]已知一次函数y＝kx＋b的图象经过(1，1)，(6，－9)两点．求这个一次函数的表达式．
解：∵一次函数y＝kx＋b的图象经过(1，1)，(6，－9)两点，
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋3.
一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的问题
典例3 已知O为坐标原点，一次函数y＝kx＋2的图象与y轴交于点A，与x轴相交于点B，且△ABO的面积为8，求一次函数的表达式．
先求得点A，B的坐标为A(0，2)，B(－，0)，然后利用三角形面积公式得到S△ABO＝AO·BO＝×2·|－|＝8，进而求出k的值，即可得到一次函数表达式．
解：当x＝0时，y＝kx＋2＝2，则A点坐标为(0，2)，
当y＝0时，kx＋2＝0，解得x＝－，则B点坐标为，
因为△ABO的面积为8，
所以×2·＝8，解得k＝±，
所以一次函数表达式为y＝x＋2或y＝－x＋2.
变式 [2024·武威期末]已知两条直线y1＝2x－4和y2＝5－x.
(1)在同一坐标系内作出它们的图象；
(2)求出它们的交点A的坐标；
(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积．
解：(1)y1＝2x－4中，令y＝0，则2x－4＝0，解得x＝2，令x＝0，则y1＝－4，
所以y1＝2x－4与x轴交于点(2，0)，与y轴交于点(0，－4)，
在y2＝5－x中，令y＝0，则5－x＝0，解得x＝5，令x＝0，则y2＝5，
所以y2＝5－x与x轴交于点(5，0)，与y轴交于点(0，5)，
函数图象如图所示：
变式图
∴交点A的坐标为(3，2)；
(3)如图，S＝×(5－2)×2＝3.
所以这两条直线与x轴围成的三角形的面积为3个平方单位．
1．[2024·泉州期末]在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋5(k≠0)的图象经过点(－1，7)．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点P(a－5，3a)在该函数的图象上，求点P的坐标．
解：(1)将(－1，7)代入y＝kx＋5中，得7＝－k＋5，
解得k＝－2，
∴该函数的表达式为y＝－2x＋5；
(2)∵点P(a－5，3a)在该函数的图象上，
∴3a＝－2(a－5)＋5，解得a＝3，
∴点P的坐标为(－2，9)．
2．[2024·南宁期末]已知一次函数y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)写出A点坐标：____，B点坐标：____；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象(不要求写步骤)；
(3)求出△AOB的面积．
第2题图
解：(1)对于一次函数y＝2x＋4，
令y＝0，得2x＋4＝0，解得x＝－2，
∴一次函数y＝2x＋4与x轴的交点A的坐标为(－2，0)；
令x＝0，得y＝4，
∴一次函数y＝2x＋4与y轴的交点B的坐标为(0，4)；
(2)∵一次函数y＝2x＋4的图象是一条直线，
∴在平面直角坐标系xOy中，根据A，B两点的坐标画出直线，即可得到该函数的图象，
函数图象如图所示：
第2题图
(3)由点A，B的坐标，得OA＝2，OB＝4，
S△AOB＝OA·OB＝×2×4＝4，
∴△AOB的面积是4.一次函数的图象与画法
一般的，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条__ __，所以也称为__ __y＝kx＋b，画一次函数y＝kx＋b的图象，只需确定__ __点即可．
待定系数法
通过先设出函数表达式中的__ __，再根据条件，利用解方程或方程组确定这些__ __，这种方法叫待定系数法．
步骤：(1)设：设出含有待定系数的函数表达式y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)；
(2)代：把已知条件(自变量与对应的函数值)代入表达式，得到关于k，b的方程(组)；
(3)解：解方程(组)，求出k，b的值；
(4)写：将求出的k，b的值代回所设的函数表达式，写出所求的函数表达式．
一次函数图象的平移
平移前的表达式 移动方向 平移后的表达式 口诀
y＝kx＋b(k≠0) 向上平移m(m>0)个单位长度 y＝kx＋b＋m 上加下减，左加右减
向下平移m(m>0)个单位长度 y＝kx＋b－m
向左平移m(m>0)个单位长度 y＝k(x＋m)＋b
向右平移m(m>0)个单位长度 y＝k(x－m)＋b
一次函数的图象
典例1 先填表，再根据表中的数据在坐标系中画出一次函数y＝2x－6的图象．
(1)填空：
x 0 ____
y＝2x－6 ____ 0
(2)在坐标系中画出该函数的图象．
典例1图
变式 用“描点法”画出一次函数y＝3x－2的图象．
变式图
待定系数法求一次函数表达式
典例2 已知一次函数的图象经过点A(2，1)，B(－1，－3)，C(m，3)．求一次函数的表达式和m的值．
变式 [2024·广州期末]已知一次函数y＝kx＋b的图象经过(1，1)，(6，－9)两点．求这个一次函数的表达式．
一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积的问题
典例3 已知O为坐标原点，一次函数y＝kx＋2的图象与y轴交于点A，与x轴相交于点B，且△ABO的面积为8，求一次函数的表达式．
变式 [2024·武威期末]已知两条直线y1＝2x－4和y2＝5－x.
(1)在同一坐标系内作出它们的图象；
(2)求出它们的交点A的坐标；
(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积．
1．[2024·泉州期末]在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋5(k≠0)的图象经过点(－1，7)．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点P(a－5，3a)在该函数的图象上，求点P的坐标．
2．[2024·南宁期末]已知一次函数y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)写出A点坐标：____，B点坐标：____；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象(不要求写步骤)；
(3)求出△AOB的面积．
第2题图一次函数、正比例函数的概念
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做x的__ __，其中k与b是常数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx也叫做__ __，k叫做比例系数．
正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
根据条件列一次函数表达式
根据条件列一次函数表达式的一般步骤：
(1)认真分析，理解题意；
(2)和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系；
(3)写成一次函数表达式y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的形式；
(4)注意x的取值范围，要使实际问题有意义．
利用一次函数的定义求字母的值
典例1 当m为何值时，函数y＝(m－3)x3－|m|＋m＋2是一次函数( )
A．2 B．－2
C．－2或2 D．3
根据一次函数的定义可得3－|m|＝1且m－3≠0，然后进行计算即可解答．
变式 [2024·合肥期中]函数①y＝5x ②y＝2x－1 ③y＝ ④y＝x＋3 ⑤y＝x2－2x＋1中，是一次函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
列一次函数表达式解决实际问题
典例2 [2024·兰州期中]写出下列各题中y关于x的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系；
(2)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系．
变式 某市出租车收费标准如下：3千米以内(包括3千米)收费10元；超过3千米时，超出的部分每千米收费2.5元(不足1千米的部分，按1千米计算)．
(1)若乘出租车行驶x(x是整数，且x＞3)千米的路程，应支付的车费y与x的函数关系式为__ __；
(2)若乘出租车行驶6千米的路程，应付车费__ __元．
1．[2024·湖北]铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m(g)与它的体积V(cm3)之间的函数表达式为m＝__ __．当V＝10 cm3时，m＝__ __g.
2．[2024·兰州期中]已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋4.
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？一次函数、正比例函数的概念
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做x的__一次函数__，其中k与b是常数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx也叫做__正比例函数__，k叫做比例系数．
正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
根据条件列一次函数表达式
根据条件列一次函数表达式的一般步骤：
(1)认真分析，理解题意；
(2)和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系；
(3)写成一次函数表达式y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的形式；
(4)注意x的取值范围，要使实际问题有意义．
利用一次函数的定义求字母的值
典例1 当m为何值时，函数y＝(m－3)x3－|m|＋m＋2是一次函数( C )
A．2 B．－2
C．－2或2 D．3
根据一次函数的定义可得3－|m|＝1且m－3≠0，然后进行计算即可解答．
变式 [2024·合肥期中]函数①y＝5x ②y＝2x－1 ③y＝ ④y＝x＋3 ⑤y＝x2－2x＋1中，是一次函数的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
列一次函数表达式解决实际问题
典例2 [2024·兰州期中]写出下列各题中y关于x的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系；
(2)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系．
根据题意，写出y与x之间的函数关系，并根据一次函数与正比例函数的定义判断即可．
解：(1)由题意，得y＝3.6x，
∴y是x的一次函数，也是正比例函数；
(2)由题意，得y＝400－36x，
∴y是x的一次函数．
变式 某市出租车收费标准如下：3千米以内(包括3千米)收费10元；超过3千米时，超出的部分每千米收费2.5元(不足1千米的部分，按1千米计算)．
(1)若乘出租车行驶x(x是整数，且x＞3)千米的路程，应支付的车费y与x的函数关系式为__y＝2.5x＋2.5__；
(2)若乘出租车行驶6千米的路程，应付车费__17.5__元．
1．[2024·湖北]铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m(g)与它的体积V(cm3)之间的函数表达式为m＝__7.9V__．当V＝10 cm3时，m＝__79__g.
2．[2024·兰州期中]已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋4.
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)∵y＝(m－1)x2－＋n＋4是一次函数，
∴m－1≠0，2－＝1，
解得m＝－1，
∴m＝－1，n为任意实数；
(2)∵y＝(m－1)x2－＋n＋4是正比例函数，
∴m－1≠0，2－＝1，n＋4＝0，
解得m＝－1，n＝－4.
