一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，图象经过点__ __和点__ __．
k的正负 b的情况 图示 经过的象限 性质
k>0 b>0 第一、二、三象限 y随x的增大而增大
b＝0 第一、三象限(且经过原点)
b<0 第一、三、四象限
k<0 b>0 第一、二、四象限 y随x的增大而减小
b＝0 第二、四象限(且经过原点)
b<0 第二、三、四象限
一次函数与系数之间的关系
典例1 已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)．
(1)m为何值时，y随x的增大而减小？
(2)m，n分别满足什么条件时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m，n分别满足什么条件时，函数的图象经过原点？
(4)m，n分别满足什么条件时，函数的图象不经过第四象限？
变式 已知一次函数y＝(2m－3)x－4＋n.
(1)若一次函数y随x增大而减小，求m，n的取值范围；
(2)若图象经过第一、三、四象限，求m，n的取值范围；
(3)若图象经过原点，求m，n的值；
(4)若图象与直线y＝2x－1平行，且过点(－1，2)，求m，n的值．
利用一次函数的性质比较函数值的大小
典例2 [2024·镇江]点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝3x＋1的图象上，则y1__ __y2.(填“<”“＝”或“>”)
变式 [2024·武汉期末]若点A，B，C(x3，－1)在一次函数y＝－3x＋m(m是常数)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1>x2>x3
B．x2>x1>x3
C．x1>x3>x2
D．x3>x1>x2
一次函数图象的共存问题
典例3 [2024·烟台期末]一次函数y＝mx＋n(m，n为常数且mn≠0)与正比例函数y＝mnx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
变式 [2024·吕梁期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝bx＋a(a，b为常数，a≠0，b≠0)的图象可能是( )
巧用一次函数的性质求函数表达式
典例4 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，自变量x的取值范围是－2≤x≤6，函数值y的取值范围是－11≤y≤9，则这个一次函数的表达式为__ __．
变式 已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点A(－6，0)，与y轴交于点B，若△AOB的面积为12，且y随x增大而减小，求一次函数的表达式．
1．P1(－2，y1)，P2(7，y2)是正比例函数y＝kx(k>0)的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是( )
A．y1>y2
B．y1C．y1＝y2
D．不能确定
2．[2024·聊城期末]已知一次函数y＝kx＋1的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝(2k－1)x＋3－k的图象经过哪个象限( )
A．一、二、三
B．二、三、四
C．一、二、四
D．一、三、四
3．直线y＝kx－b经过二、三、四象限，则直线y＝bx＋k的图象只能是图中的( )
4．[2024·长春]已知直线y＝kx＋b(k，b是常数)经过点(1，1)，且y随x的增大而减小，则b的值可以是__ __．(写出一个即可)
5．[2024·聊城期中]已知一次函数y＝(4＋2m)x＋m－4，求：
(1)若m＝－1时，求此函数图象与x轴的交点坐标；
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？一次函数的性质
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，图象经过点__(－，0)__和点__(0，b)__．
k的正负 b的情况 图示 经过的象限 性质
k>0 b>0 第一、二、三象限 y随x的增大而增大
b＝0 第一、三象限(且经过原点)
b<0 第一、三、四象限
k<0 b>0 第一、二、四象限 y随x的增大而减小
b＝0 第二、四象限(且经过原点)
b<0 第二、三、四象限
一次函数与系数之间的关系
典例1 已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)．
(1)m为何值时，y随x的增大而减小？
(2)m，n分别满足什么条件时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m，n分别满足什么条件时，函数的图象经过原点？
(4)m，n分别满足什么条件时，函数的图象不经过第四象限？
解：(1)∵y随x的增大而减小，
∴6＋3m＜0，∴m＜－2，
∴当m＜－2时，y随x的增大而减小；
(2)∵一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴6＋3m≠0，n－4＜0，
∴m≠－2，n＜4.
∴当m≠－2，n＜4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；
(3)∵一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)的图象经过原点，
∴6＋3m≠0，n－4＝0，
∴m≠－2，n＝4.
∴当m≠－2，n＝4时，函数图象经过原点；
(4)∵一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)的图象不经过第四象限，
∴一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)的图象经过第一、二、三象限或第一、三象限．
当一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)的图象经过第一、二、三象限时，6＋3m＞0，n－4＞0，
∴m＞－2，n＞4；
当一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)的图象经过第一、三象限时，6＋3m＞0，n－4＝0，
∴m＞－2，n＝4.
综上所述，当m＞－2，n≥4时，函数图象不经过第四象限．
变式 已知一次函数y＝(2m－3)x－4＋n.
(1)若一次函数y随x增大而减小，求m，n的取值范围；
(2)若图象经过第一、三、四象限，求m，n的取值范围；
(3)若图象经过原点，求m，n的值；
(4)若图象与直线y＝2x－1平行，且过点(－1，2)，求m，n的值．
解：(1)由题意，得2m－3＜0，解得m＜，n为全体实数；
(2)由题意，得2m－3＞0且－4＋n＜0，解得m＞，n＜4；
(3)把(0，0)代入y＝(2m－3)x－4＋n，得－4＋n＝0，解得n＝4，
且2m－3≠0，即m≠；
(4)由题意，得2m－3＝2，解得m＝，
把(－1，2)代入y＝2x－4＋n，得－2－4＋n＝2，解得n＝8.
利用一次函数的性质比较函数值的大小
典例2 [2024·镇江]点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝3x＋1的图象上，则y1__<__y2.(填“<”“＝”或“>”)
根据k＝3>0，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案．
变式 [2024·武汉期末]若点A，B，C(x3，－1)在一次函数y＝－3x＋m(m是常数)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( D )
A．x1>x2>x3
B．x2>x1>x3
C．x1>x3>x2
D．x3>x1>x2
一次函数图象的共存问题
典例3 [2024·烟台期末]一次函数y＝mx＋n(m，n为常数且mn≠0)与正比例函数y＝mnx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )
根据一次函数与正比例函数的性质逐项进行判断．
变式 [2024·吕梁期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝bx＋a(a，b为常数，a≠0，b≠0)的图象可能是( B )
巧用一次函数的性质求函数表达式
典例4 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，自变量x的取值范围是－2≤x≤6，函数值y的取值范围是－11≤y≤9，则这个一次函数的表达式为__y＝x－6或y＝－x＋4__．
分k>0，k<0两种情况进行求解．
变式 已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点A(－6，0)，与y轴交于点B，若△AOB的面积为12，且y随x增大而减小，求一次函数的表达式．
解：∵图象经过点A(－6，0)，
∴0＝－6k＋b，
即b＝6k①，
∵图象与y轴的交点是B(0，b)，
∴AO·OB＝12，
即×6·|b|＝12，
∴|b|＝4，
∴b1＝4，b2＝－4，
代入①式，得k1＝(不合题意舍去)，k2＝－，
∴一次函数的表达式是y＝－x－4.
1．P1(－2，y1)，P2(7，y2)是正比例函数y＝kx(k>0)的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是( B )
A．y1>y2
B．y1C．y1＝y2
D．不能确定
2．[2024·聊城期末]已知一次函数y＝kx＋1的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝(2k－1)x＋3－k的图象经过哪个象限( C )
A．一、二、三
B．二、三、四
C．一、二、四
D．一、三、四
3．直线y＝kx－b经过二、三、四象限，则直线y＝bx＋k的图象只能是图中的( D )
4．[2024·长春]已知直线y＝kx＋b(k，b是常数)经过点(1，1)，且y随x的增大而减小，则b的值可以是__2(答案不唯一)__．(写出一个即可)
5．[2024·聊城期中]已知一次函数y＝(4＋2m)x＋m－4，求：
(1)若m＝－1时，求此函数图象与x轴的交点坐标；
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
解：(1)若m＝－1时，
则一次函数表达式为y＝2x－5，
当函数图象与x轴相交，纵坐标y＝0，
∴0＝2x－5，即x＝，
∴此函数图象与x轴的交点坐标为(，0)；
(2)∵y随x的增大而减小，
∴4＋2m<0，
解得m<－2，
当m<－2时，y随x的增大而减小；
(3)∵函数图象与y轴的交点在x轴下方，
∴m－4<0且4＋2m≠0，
解得m<4且m≠－2，
∴当m<4且m≠－2时，函数图象与y轴交点在x轴下方.
