一次函数与二元一次方程
二元一次方程ax＋by＝c(a≠0，b≠0)可看作是一个一次函数y＝－x＋.二元一次方程ax＋by＝c的任意一个解，都满足一次函数y＝－x＋，因此，这个解所对应的点在直线y＝－x＋上．反之，直线y＝－x＋上每个点的坐标，都是二元一次方程ax＋by＝c的一个解．
一次函数与二元一次方程组
解二元一次方程组，可以先写出方程组中的两个二元一次方程分别对应的__ __，其图象的交点__ __即为方程组的解．反之，求直角坐标系中两条直线的交点坐标，可以转化成解由两条直线的表达式组成的__ __．
在用图象法解题时，先将每个方程化成一次函数的形式，再画图找交点坐标．
直线y＝a和x＝b的意义
所有纵坐标等于a的点组成的图形是经过点(0，a)，且平行于x轴的一条直线，我们把它叫做直线y＝a.
类似地，所有横坐标等于b的点组成的图形是经过点(b，0)，且平行于y轴的一条直线，我们把它叫做直线x＝b.
一次函数与二元一次方程组
典例1 [2024·张掖期中]在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4的图象如图所示．
典例1图
(1)在同一坐标系中，作出一次函数y＝2x－5的图象；
(2)用作图象的方法解方程组：
变式1 [2024·成都期末]函数y＝kx与y＝x－1的图象交点坐标为(2，a)，则关于x，y的方程组的解为( )
A. B.
C. D.
变式2 [2024·淄博期中]用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图)，则所解的二元一次方程组是( )
变式2图
A.
B.
C.
D.
一次函数与图形的综合应用
典例2 [2024·淄博期中]如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，一次函数的图象经过点B(1，1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C.
典例2图
(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)求△COP的面积；
(3)不解关于x，y的方程组直接写出方程组的解．
变式 已知，如图，直线y＝8－2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x＋b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC∶CO＝3∶5(AO＞CO)．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求四边形COBP的面积S.
变式图
1．[2024·海口期末]若直线y＝2x＋b与x轴交于点A(－2，0)，则方程2x＋b＝0的解是__ __．
2．[2024·威海期末]若一次函数y＝kx＋b与y＝mx－n的图象交于点(2，－1)，则关于x，y的方程组的解是__ __．
3．[2024·西安期末]如图，一次函数y＝2x＋6与y＝－2x－2的图象交于点P，其中直线y＝2x＋6分别交x，y轴于C，D两点，直线y＝－2x－2分别交x，y轴于A，B两点．
(1)求点P的坐标；
(2)连接OP，若点M为y＝2x＋6图象上不同于点P的任意一点，且S△APM＝4S△AOP，求点M的坐标．
第3题图一次函数与二元一次方程
二元一次方程ax＋by＝c(a≠0，b≠0)可看作是一个一次函数y＝－x＋.二元一次方程ax＋by＝c的任意一个解，都满足一次函数y＝－x＋，因此，这个解所对应的点在直线y＝－x＋上．反之，直线y＝－x＋上每个点的坐标，都是二元一次方程ax＋by＝c的一个解．
一次函数与二元一次方程组
解二元一次方程组，可以先写出方程组中的两个二元一次方程分别对应的__一次函数__，其图象的交点__坐标__即为方程组的解．反之，求直角坐标系中两条直线的交点坐标，可以转化成解由两条直线的表达式组成的__二元一次方程组__．
在用图象法解题时，先将每个方程化成一次函数的形式，再画图找交点坐标．
直线y＝a和x＝b的意义
所有纵坐标等于a的点组成的图形是经过点(0，a)，且平行于x轴的一条直线，我们把它叫做直线y＝a.
类似地，所有横坐标等于b的点组成的图形是经过点(b，0)，且平行于y轴的一条直线，我们把它叫做直线x＝b.
一次函数与二元一次方程组
典例1 [2024·张掖期中]在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4的图象如图所示．
典例1图
(1)在同一坐标系中，作出一次函数y＝2x－5的图象；
(2)用作图象的方法解方程组：
(1)用描点法画出一次函数的图象；(2)根据两图象的交点即可得出答案．
解：(1)列出表格如表：
x … 0 1 2 3 …
y … －5 －3 －1 1 …
函数图象如图所示：
典例1图
(2)∵y＝－x＋4可整理为x＋y＝4，y＝2x－5可整理为2x－y＝－5，
∴由图象，得的解为
变式1 [2024·成都期末]函数y＝kx与y＝x－1的图象交点坐标为(2，a)，则关于x，y的方程组的解为( B )
A. B.
C. D.
变式2 [2024·淄博期中]用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图)，则所解的二元一次方程组是( D )
变式2图
A.
B.
C.
D.
一次函数与图形的综合应用
典例2 [2024·淄博期中]如图，正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，一次函数的图象经过点B(1，1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C.
典例2图
(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)求△COP的面积；
(3)不解关于x，y的方程组直接写出方程组的解．
(1)将点P(m，3)代入y＝－3x，求出m＝－1，得到P(－1，3)．把P，B两点的坐标代入y＝kx＋b，利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
(2)根据一次函数的表达式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积；
(3)两函数图象的交点坐标即为两函数表达式组成的二元一次方程组的解．
解：(1)∵正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(m，3)，
∴－3m＝3，解得m＝－1，∴P(－1，3)，
把(1，1)和(－1，3)代入一次函数y＝kx＋b，
得解得
∴一次函数表达式是y＝－x＋2；
(2)由(1)，得一次函数表达式是y＝－x＋2，
令y＝0，得－x＋2＝0，解得x＝2，
∴点C(2，0)，∴OC＝2，
∵P(－1，3)，
∴S△COP＝OC·＝×2×3＝3；
(3)由图象，得正比例函数y＝－3x的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点P(－1，3)，
∴方程组的解为
变式 已知，如图，直线y＝8－2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x＋b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC∶CO＝3∶5(AO＞CO)．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求四边形COBP的面积S.
变式图
解：(1)∵直线y＝8－2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝8－2×0＝8，
当y＝0时，0＝8－2x，解得x＝4，
∴A(0，8)，B(4，0)；
(2)AC∶CO＝3∶5，AO＝8，
∴C(0，5)，
∵直线y＝x＋b与y轴交于点C，
∴5＝0＋b，
∴b＝5，∴y＝x＋5，
联立
解得
∴P(1，6)，
∴S＝S△AOB－S△ACP＝×4×8－×3×1＝.
1．[2024·海口期末]若直线y＝2x＋b与x轴交于点A(－2，0)，则方程2x＋b＝0的解是__x＝－2__．
2．[2024·威海期末]若一次函数y＝kx＋b与y＝mx－n的图象交于点(2，－1)，则关于x，y的方程组的解是____．
3．[2024·西安期末]如图，一次函数y＝2x＋6与y＝－2x－2的图象交于点P，其中直线y＝2x＋6分别交x，y轴于C，D两点，直线y＝－2x－2分别交x，y轴于A，B两点．
(1)求点P的坐标；
(2)连接OP，若点M为y＝2x＋6图象上不同于点P的任意一点，且S△APM＝4S△AOP，求点M的坐标．
第3题图
解：(1)联立
解得
∴一次函数y＝2x＋6与y＝－2x－2的图象交点P的坐标为(－2，2)；
(2)由y＝－2x－2可知A(－1，0)，
由y＝2x＋6可知C(－3，0)，
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝2，
∴S△AOP＝OA·yp＝×1×2＝1，
S△ACP＝AC·yp＝×2×2＝2，
∴S△APM＝4S△AOP＝4，
设点M的纵坐标为m，
①当点M在点P的上方，则S△APM＝S△ACM－S△ACP＝×2·m－2＝4，
解得m＝6，
②当点M在点P的下方，则S△APM＝S△ACM＋S△ACP＝×2·(－m)＋2＝4，
解得m＝－2，
把y＝6代入y＝2x＋6，得x＝0，
把y＝－2代入y＝2x＋6，得x＝－4，
∴点M的坐标为(0，6)或(－4，－2)．
