探索两个变量之间的一次函数关系
1．利用图象确定
在直角坐标系中描出各对对应值所对应的点，观察这些点是否在同一条直线上，若各点在同一条直线上，说明两个变量之间是一次函数关系，否则不是．
2．利用数值的差之比确定
一般地，如果两个变量对应数值的差之比是一个常数k，那么这两个变量之间是一次函数关系．
一次函数的应用
运用一次函数解决实际问题的关键是熟记一次函数图象的性质．
一次函数关系的探索应用
典例1 [2024·潍坊期末]为促进生产，某年画加工坊提供了两种员工月报酬的方案，设员工每月加工年画的数量为x(幅)(x≥0)，获得的月报酬为y(元)，两种方案对应的部分数据如表：
月加工数量x(幅)(x≥0) 0 10 20 30 40 …
方案一月报酬y1(元) 600 800 1 000 1 200 1 400 …
方案二月报酬y2(元) 0 400 800 1 200 1 600 …
典例1图
(1)在平面直角坐标系中分别描出表中方案一和方案二对应的点，画出函数y1和y2的图象；
(2)求y2关于x的函数表达式；
(3)已知员工可以任选一种方案与公司签订合同，如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的月加工数量选择合适的方案？
(1)描点并将它们用平滑曲线连接起来即可；
(2)利用待定系数法求解即可；
(3)分别讨论y1>y2，y1＝y2，y1变式 爱动脑筋的小明同学在买一双新的运动鞋时，发现了一些有趣现象，即鞋子的号码与鞋子的长(cm)之间存在着某种联系，经过收集数据，得到表格：
鞋长x(cm) … 22 23 24 25 26 …
码数y … 34 36 38 40 42 …
请你代替小明解决下列问题：
(1)根据表中数据，在同一平面直角坐标系中描出相应的点，你发现这些点在哪一种图形上？
(2)猜想y与x之间满足怎样的函数表达式，并求出y与x之间的函数表达式，验证这些点的坐标是否满足函数表达式；
(3)已知姚明的鞋子穿52码，则他穿的鞋长是多长？
变式图
利用一次函数解决方案设计问题
典例2 某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用y甲(元)与铺设面积x(m2)的函数关系如图．乙工程队铺设广场砖的费用y乙(元)与铺设面积x(m2)满足函数关系式y乙＝kx (k为常数，且k>0)．
典例2图
(1)求出甲工程队的费用y甲(元)与面积x(m2)的函数表达式，并写明x的取值范围；
(2)如果公园铺设广场砖的面积为1 600 m2，那么选择哪个工程队施工更合算？
变式 [2024·青岛期中]2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元．
(1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？
(2)某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案：
方案一：每个均按原售价的8折优惠；
方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价的5折优惠．
爱心团队选择哪种方案购买更合算？
利用一次函数解决最值问题
典例3 [2023·泸州]端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4 600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
变式 [2024·日照期末]已知A产品的进价比B产品的进价每盒便宜10元，某商家用4 000元购进的B产品和用3 000元购进的A产品盒数相同．
(1)求A产品和B产品每盒的进价；
(2)A产品售价为每盒38元，B产品售价为每盒50元，该商家计划用不少于33 000元购进两种产品共1 000盒，且要求A产品的数量不少于B产品的2倍，假设购进产品能全部售出，求获利最多的进货方案及最大利润．
运用一次函数图象解决实际问题
典例4 [2024·潍坊期末]A，B两地相距360千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地，甲车比乙车早出发1.5小时．如图，线段OC表示甲车离开A地的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系；折线DEF表示乙车离开A地的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系．
典例4图
根据图象回答下列问题：
(1)乙车到达B地时，求此时甲车距离A地多少千米；
(2)求点G的坐标，并说明点G坐标的实际意义；
(3)直接写出，乙出发多长时间时，两车相距20千米．
变式 甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发，匀速上升60秒．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y(单位：m)与气球上升时间x(单位：秒)的函数图象．
(1)求这两个气球在上升过程中y关于x的函数表达式；
(2)当这两个气球的海拔高度相差18 m时，求上升的时间．
变式图
1．某小卖部进了一批玩具，在进货价的基础上加一定的利润出售，其销售数量x(个)与售价y(元)之间的关系如表：
销售数量x(个) 1 2 3 4 …
售价y(元) 8＋0.3 16＋0.6 24+0.9 32+1.2 …
下列用x表示y的关系式中，正确的是( )
A．y＝8x＋0.3 B．y＝8.3x
C．y＝8＋0.3x D．y＝8.3＋x
2．[2024·德州期末]某专卖店购进A，B两种礼盒进行销售，两种礼盒的进价、售价如表所示．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．
进价(元/个) 售价(元/个)
A 160 220
B 120 160
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15 000元，求最大利润为多少元？探索两个变量之间的一次函数关系
1．利用图象确定
在直角坐标系中描出各对对应值所对应的点，观察这些点是否在同一条直线上，若各点在同一条直线上，说明两个变量之间是一次函数关系，否则不是．
2．利用数值的差之比确定
一般地，如果两个变量对应数值的差之比是一个常数k，那么这两个变量之间是一次函数关系．
一次函数的应用
运用一次函数解决实际问题的关键是熟记一次函数图象的性质．
一次函数关系的探索应用
典例1 [2024·潍坊期末]为促进生产，某年画加工坊提供了两种员工月报酬的方案，设员工每月加工年画的数量为x(幅)(x≥0)，获得的月报酬为y(元)，两种方案对应的部分数据如表：
月加工数量x(幅)(x≥0) 0 10 20 30 40 …
方案一月报酬y1(元) 600 800 1 000 1 200 1 400 …
方案二月报酬y2(元) 0 400 800 1 200 1 600 …
典例1图
(1)在平面直角坐标系中分别描出表中方案一和方案二对应的点，画出函数y1和y2的图象；
(2)求y2关于x的函数表达式；
(3)已知员工可以任选一种方案与公司签订合同，如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的月加工数量选择合适的方案？
(1)描点并将它们用平滑曲线连接起来即可；
(2)利用待定系数法求解即可；
(3)分别讨论y1>y2，y1＝y2，y1解：(1)描点及函数图象如图所示：
典例1图
(2)设y2关于x的函数表达式为y2＝kx(k为常数，且k≠0)．
将坐标(10，400)代入y2＝kx，
得10k＝400，
解得k＝40，
∴y2关于x的函数表达式为y2＝40x；
(3)由图象，得当0≤x<30时，y1>y2；
当x＝30时，y1＝y2；
当x>30时，y1∴当0≤x<30时，应选择方案一；当x＝30时，选择方案一或方案二均可；当x>30时，应选择方案二．
变式 爱动脑筋的小明同学在买一双新的运动鞋时，发现了一些有趣现象，即鞋子的号码与鞋子的长(cm)之间存在着某种联系，经过收集数据，得到表格：
鞋长x(cm) … 22 23 24 25 26 …
码数y … 34 36 38 40 42 …
请你代替小明解决下列问题：
(1)根据表中数据，在同一平面直角坐标系中描出相应的点，你发现这些点在哪一种图形上？
(2)猜想y与x之间满足怎样的函数表达式，并求出y与x之间的函数表达式，验证这些点的坐标是否满足函数表达式；
(3)已知姚明的鞋子穿52码，则他穿的鞋长是多长？
变式图
解：(1)描点如图所示，这些点同在一直线上；
变式图
(2)设y＝kx＋b(k≠0)，
把点(22，34)，(23，36)代入，得
解得
∴y＝2x－10，
当x＝24时，y＝2×24－10＝38，
当x＝25时，y＝2×25－10＝40，
当x＝26时，y＝2×26－10＝42，
所以，这些点的坐标都满足函数表达式；
(3)y＝52时，2x－10＝52，
解得x＝31，
答：他穿的鞋长是31 cm.
利用一次函数解决方案设计问题
典例2 某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用y甲(元)与铺设面积x(m2)的函数关系如图．乙工程队铺设广场砖的费用y乙(元)与铺设面积x(m2)满足函数关系式y乙＝kx (k为常数，且k>0)．
典例2图
(1)求出甲工程队的费用y甲(元)与面积x(m2)的函数表达式，并写明x的取值范围；
(2)如果公园铺设广场砖的面积为1 600 m2，那么选择哪个工程队施工更合算？
(1)根据图象信息利用待定系数法可求出函数表达式；(2)需要根据k的取值范围不同而做出相应的判断．
解：(1)函数图象过点(500，28 000)，
(1 000，48 000)，
当0≤x≤500时，设y甲＝ax，则500a＝28 000，解得a＝56，
∴y甲＝56x，
当x>500时，
设y甲＝bx＋c，则
解得
∴y甲＝40x＋8 000.
综上所述，甲工程队的费用y甲(元)与面积
x(m2)的函数表达式为
y甲＝
(2)当x＝1 600时，y甲＝40×1 600＋8 000＝72 000.y乙＝1 600k.
当y甲＝y乙时，72 000＝1 600k，解得k＝45；
当y甲>y乙时，72 000>1 600k，解得0当y甲1 600k，解得k>45.
答：当k＝45时，选择甲、乙工程队均可，当045时，选择甲工程队施工合算．
变式 [2024·青岛期中]2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元．
(1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？
(2)某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案：
方案一：每个均按原售价的8折优惠；
方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价的5折优惠．
爱心团队选择哪种方案购买更合算？
解：(1)设A种吉祥物每件售价a元，则B种吉祥物每件售价(a＋2)元．
根据题意，得20a＋30(a＋2)＝360，
解得a＝6，
6＋2＝8(元)，
∴A种吉祥物每件售价6元，B种吉祥物每件售价8元；
(2)设购买数量为x个，按方案一购买需要y1元，按方案二购买需要y2元．
根据题意，得y1＝0.8×6x＝4.8x，y2＝6×30＋0.5×6(x－30)＝3x＋90.
y1－y2＝4.8x－(3x＋90)＝1.8x－90，
∵x>50，
∴1.8x－90>0，∴y1>y2，
∴爱心团队选择方案二购买更合算．
利用一次函数解决最值问题
典例3 [2023·泸州]端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4 600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
(1)列分式方程求解即可；(2)列总利润与节前购进A粽子的质量的函数表达式，用一次函数的增减性即可解决问题．
解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得－4＝，
解得x＝10或x＝－12(舍去)，
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m＋10(400－m)≤4 600，
解得m≤300，
w＝(20－12)m＋(16－10)(400－m)＝2m＋2 400，
∵2＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300＋2 400＝3 000(元)，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3 000元．
变式 [2024·日照期末]已知A产品的进价比B产品的进价每盒便宜10元，某商家用4 000元购进的B产品和用3 000元购进的A产品盒数相同．
(1)求A产品和B产品每盒的进价；
(2)A产品售价为每盒38元，B产品售价为每盒50元，该商家计划用不少于33 000元购进两种产品共1 000盒，且要求A产品的数量不少于B产品的2倍，假设购进产品能全部售出，求获利最多的进货方案及最大利润．
解：(1)设A产品每盒的进价为x元，则B产品每盒的进价为(x＋10)元，
根据题意，得＝，
解得x＝30，
经检验，x＝30是所列分式方程的解，且符合题意，
x＋10＝40，
答：A产品每盒的进价为30元，B产品每盒的进价为40元；
(2)设购进A产品a盒，则购进B产品(1 000－a)盒，
根据题意，得
解得≤a≤700，
设获利y元，
根据题意，得y＝(38－30)a＋(50－40)(1 000－a)＝－2a＋10 000，
∵－2<0，
∴y随a的增大而减小，又∵a为整数，
∴当a＝667时，y最大，最大值为－2×667＋10 000＝8 666，
此时1 000－a＝333，
答：当购进A产品667盒，购进B产品333盒时，利润最大，最大利润为8 666元．
运用一次函数图象解决实际问题
典例4 [2024·潍坊期末]A，B两地相距360千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地，甲车比乙车早出发1.5小时．如图，线段OC表示甲车离开A地的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系；折线DEF表示乙车离开A地的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系．
典例4图
根据图象回答下列问题：
(1)乙车到达B地时，求此时甲车距离A地多少千米；
(2)求点G的坐标，并说明点G坐标的实际意义；
(3)直接写出，乙出发多长时间时，两车相距20千米．
(1)求出线段OC的表达式，将x＝5代入求出y值即可；
(2)求出线段EF的表达式，联立方程组进而得到G点坐标，由坐标说明意义；
(3)分两车相遇前和相遇后两种情况列一元一次方程求解．
解：(1)设线段OC的表达式为y＝kx，将C(6，360)代入，
得6k＝360，
解得k＝60，
∴y＝60x，
当x＝5时，y＝60×5＝300，
∴乙车到达B地时，求此时甲车距离A地300千米；
(2)设线段EF的表达式为y＝mx＋n，
将点E(2，60)，F(5，360)代入，得
解得
∴线段EF的表达式为y＝100x－140，
联立解得
∴G，
点G坐标的实际意义：甲车出发小时时两车相遇，此时距A地210千米；
(3)同理(2)，得线段DE的表达式为y＝120x－180，
令60x－120x＋180＝20，解得x＝>2(不符合题意舍去)，
两车相遇前：60x－100x＋140＝20，解得x＝3，3－1.5＝1.5；
两车相遇后：100x－140－60x＝20，解得x＝4，4－1.5＝2.5.
∴乙出发1.5小时或2.5小时时，两车相距20千米．
变式 甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发，匀速上升60秒．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y(单位：m)与气球上升时间x(单位：秒)的函数图象．
(1)求这两个气球在上升过程中y关于x的函数表达式；
(2)当这两个气球的海拔高度相差18 m时，求上升的时间．
变式图
解：(1)设甲探测气球对应的函数表达式为
y＝ax＋b，
∵点(0，5)，(20，25)在该函数图象上，
∴
解得
即甲探测气球对应的函数表达式为y＝x＋5；
设乙探测气球对应的函数表达式为y＝cx＋d，
∵点(0，15)，(20，25)在该函数图象上，
∴
解得
即乙探测气球对应的函数表达式为y＝0.5x＋15；
(2)由题意，得
(x＋5)－(0.5x＋15)＝18或(0.5x＋15)－(x＋5)＝18，
解得x＝56或x＝－16(不合题意，舍去)，
答：当这两个气球的海拔高度相差18 m时，上升的时间是56秒．
1．某小卖部进了一批玩具，在进货价的基础上加一定的利润出售，其销售数量x(个)与售价y(元)之间的关系如表：
销售数量x(个) 1 2 3 4 …
售价y(元) 8＋0.3 16＋0.6 24+0.9 32+1.2 …
下列用x表示y的关系式中，正确的是( B )
A．y＝8x＋0.3 B．y＝8.3x
C．y＝8＋0.3x D．y＝8.3＋x
2．[2024·德州期末]某专卖店购进A，B两种礼盒进行销售，两种礼盒的进价、售价如表所示．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元．
进价(元/个) 售价(元/个)
A 160 220
B 120 160
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15 000元，求最大利润为多少元？
解：(1)购进A种礼盒x个，则购进B种礼盒(100－x)个，
由题意，得y＝(220－160)x＋(160－120)×(100－x)＝20x＋4 000；
(2)由题意，得
∴60≤x≤75，
∵y＝20x＋4 000中，20>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝75时，y最大＝20×75＋4 000＝5 500(元).
