平移的概念
在平面内，将一个图形沿__某一个方向__移动__一定的距离__，图形的这种变化叫做平移．平移前图形上的点与平移后所到达的点叫做对应点．平移后图形的位置是由平移方向和平移距离确定的．
平移的性质
1．平移只改变图形的__位置__，而不改变图形的__大小__和__形状__．平移是全等变换．
2．一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且__相等__．
生活中的平移现象
典例1 下列生活现象中，属于平移的是( B )
A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉
C．荡秋千 D．钟摆的摆动
根据平移的定义，结合具体的问题情境进行判断即可．
变式 [2024·咸宁期末]下列生活现象是数学中的平移的是( B )
A．彩旗随风飘扬 B．电梯升降
C．钟表指针转动 D．教室门从开到关
分析平移过程
典例2 如图，在10×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是( A )
典例2图
A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移5个单位，再向上平移2个单位
根据网格结构，对选项一一判断．
变式 [2024·绍兴期末]如图，在6×6的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各平移过程，不正确的是( C )
变式图
A．将△ABC先向右平移3格，再向上平移2格得到△A′B′C′
B．将△ABC先向上平移2格，再向右平移3格得到△A′B′C′
C．将△A′B′C′先向右平移3格，再向下平移2格得到△ABC
D．将△A′B′C′先向下平移2格，再向左平移3格得到△ABC
平移基本性质的应用
典例3 [2024·东营期末]如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2 cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2 cm，EF＝5 cm，则阴影部分的面积为( B )
典例3图
A．6 cm2 B．8 cm2 C．12 cm2 D．16 cm2
根据平移的性质，将阴影面积转化为梯形BHFE的面积，求解即可．
变式 [2024·青岛期中]如图，浮山公园有一块长为12 m，宽为6 m的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为2 m的石子路(两条石子路的任何地方的水平宽度都是2 m)，剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为( B )
变式图
A．24 m2 B．48 m2 C．56 m2 D．72 m2
1．[2024·鞍山期末]如图，通过平移得到的图案是( A )
第1题图
2．如图，把网格中阴影部分的方格块合成一个整体，则应将上面的方格块( C )
第2题图
A．向右平移1格，向下平移3格
B．向右平移1格，向下平移4格
C．向右平移2格，向下平移4格
D．向右平移2格，向下平移3格
3．[2024·连云港]如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是( A )
第3题图
A．440 cm B．320 cm
C．280 cm D．160 cm
4．[2024·德州期中]如图所示，将直角三角形ABC沿BC方向平移4 cm，得到直角三角形DEF，连接AD，若AB＝5 cm，则图中阴影部分的面积为__20_cm2__．
第4题图平移的概念
在平面内，将一个图形沿__ __移动__ __，图形的这种变化叫做平移．平移前图形上的点与平移后所到达的点叫做对应点．平移后图形的位置是由平移方向和平移距离确定的．
平移的性质
1．平移只改变图形的__ __，而不改变图形的__ __和__ __．平移是全等变换．
2．一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且__ __．
生活中的平移现象
典例1 下列生活现象中，属于平移的是( )
A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉
C．荡秋千 D．钟摆的摆动
变式 [2024·咸宁期末]下列生活现象是数学中的平移的是( )
A．彩旗随风飘扬 B．电梯升降
C．钟表指针转动 D．教室门从开到关
分析平移过程
典例2 如图，在10×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是( )
典例2图
A．先向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移5个单位，再向上平移2个单位
变式 [2024·绍兴期末]如图，在6×6的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各平移过程，不正确的是( )
变式图
A．将△ABC先向右平移3格，再向上平移2格得到△A′B′C′
B．将△ABC先向上平移2格，再向右平移3格得到△A′B′C′
C．将△A′B′C′先向右平移3格，再向下平移2格得到△ABC
D．将△A′B′C′先向下平移2格，再向左平移3格得到△ABC
平移基本性质的应用
典例3 [2024·东营期末]如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2 cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2 cm，EF＝5 cm，则阴影部分的面积为( )
典例3图
A．6 cm2 B．8 cm2 C．12 cm2 D．16 cm2
变式 [2024·青岛期中]如图，浮山公园有一块长为12 m，宽为6 m的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为2 m的石子路(两条石子路的任何地方的水平宽度都是2 m)，剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为( )
变式图
A．24 m2 B．48 m2 C．56 m2 D．72 m2
1．[2024·鞍山期末]如图，通过平移得到的图案是( )
第1题图
2．如图，把网格中阴影部分的方格块合成一个整体，则应将上面的方格块( )
第2题图
A．向右平移1格，向下平移3格
B．向右平移1格，向下平移4格
C．向右平移2格，向下平移4格
D．向右平移2格，向下平移3格
3．[2024·连云港]如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是( )
第3题图
A．440 cm B．320 cm
C．280 cm D．160 cm
4．[2024·德州期中]如图所示，将直角三角形ABC沿BC方向平移4 cm，得到直角三角形DEF，连接AD，若AB＝5 cm，则图中阴影部分的面积为__ _ __．
第4题图平移作图
一“定”：确定平移的方向和距离；
二“找”：找出图形中的关键点；
三“作”：过关键点作平行(或在同一条直线上)且相等的线段，得到关键点的对应点；
四“连”：顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
直角坐标系中的平移
将直角坐标系中的点向右(或向左)平移h(h>0)个单位长度，点的__ __不变，__ __增加(或减少)h个单位．将直角坐标系中的点向上(或向下)平移k(k>0)个单位长度，点的__ __不变，__ __增加(或减少)k个单位．
平移画图
典例1 [2024·济宁期末]正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E，F分别是B，C的对应点．
典例1图
(1)画出平移后的△DEF；
(2)△ABC的面积为____；
(3)连接AD，CF，则AD与CF之间的关系是______________．
变式 如图所示，将△ABC平移，可以得到△DEF，点B的对应点为点E，请画出点A的对应点D、点C的对应点F的位置，并作出△DEF.
变式图
平移与坐标变换
典例2 [2024·德州期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(－4，1)，B(－4，－3)，C(1，3)，经过平移得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，已知△ABC内任意一点P(a，b)，经平移后的对应点为P1(a＋3，b＋2)．
典例2图
(1)请描述△ABC如何平移得到△A1B1C1；
(2)请画出平移后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
(3)若b＝1，△P1AB的面积为12，且点P1恰好在第一象限，求此时点P的坐标．
变式 [2024·济宁期末]在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A′B′C′，位置如图所示．
变式图
(1)分别写出点A，A′的坐标：A____，A′____；
(2)请说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
(3)若点M(m，4－n)是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M的坐标为(2m－8，n－2)，求m和n的值．
1．[2024·北京期中]将点A(－4，1)向上平移3个单位长度，则对应点B的坐标为( )
A．(1，2) B．(－4，4)
C．(5，3) D．(－9，－4)
2．[2024·德州期末]如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边长AB与x轴平行且AB＝3，AD＝2，点B的坐标为(4，－1)，沿某一方向平移后，点B的对应点B1的坐标为(1，3)，则点D1的坐标为( )
第2题图
A．(－2，2) B．(－2，1)
C．(－3，1) D．(－3，3)
3．[2024·德州期中]点P(2a＋6，2－a)向左平移2个单位长度后，在第二象限内，则a的取值范围为__ __．
4．[2023·青岛一模]如图，点A的坐标为(0，6)，将△AOB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，若点A的对应点A′落在直线y＝2x－1上，则点B与其对应点B′间的距离为__ __．
第4题图
5．[2024·日照期末]如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的位置如图所示．
第5题图
(1)写出△ABC三个顶点的坐标；
(2)把△ABC向左平移2个单位，向下平移4个单位得到△DEF，请画出△DEF；
(3)请求出△DEF的面积．平移作图
一“定”：确定平移的方向和距离；
二“找”：找出图形中的关键点；
三“作”：过关键点作平行(或在同一条直线上)且相等的线段，得到关键点的对应点；
四“连”：顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
直角坐标系中的平移
将直角坐标系中的点向右(或向左)平移h(h>0)个单位长度，点的__纵坐标__不变，__横坐标__增加(或减少)h个单位．将直角坐标系中的点向上(或向下)平移k(k>0)个单位长度，点的__横坐标__不变，__纵坐标__增加(或减少)k个单位．
平移画图
典例1 [2024·济宁期末]正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E，F分别是B，C的对应点．
典例1图
(1)画出平移后的△DEF；
(2)△ABC的面积为____；
(3)连接AD，CF，则AD与CF之间的关系是______________．
(1)根据平移作图的步骤作图；
(2)用割补法求解；(3)用平移性质可得．
解：(1)如图所示，△DEF即为所求作；
典例1图
(2)S△ABC＝4×4－×1×4－×2×4－×2×3＝7，
故答案为：7；
(3)∵将△ABC平移到△DEF，
∴AD∥CF，
AD＝CF，
∴AD与CF之间的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
变式 如图所示，将△ABC平移，可以得到△DEF，点B的对应点为点E，请画出点A的对应点D、点C的对应点F的位置，并作出△DEF.
变式图
解：如图：
变式图
平移与坐标变换
典例2 [2024·德州期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(－4，1)，B(－4，－3)，C(1，3)，经过平移得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，已知△ABC内任意一点P(a，b)，经平移后的对应点为P1(a＋3，b＋2)．
典例2图
(1)请描述△ABC如何平移得到△A1B1C1；
(2)请画出平移后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标；
(3)若b＝1，△P1AB的面积为12，且点P1恰好在第一象限，求此时点P的坐标．
解：(1)△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A1B1C1；
或者△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到△A1B1C1；(回答一种即可)
(2)如图所示，△A1B1C1就是平移后的三角形，A1(－1，3)，B1(－1，－1)，C1(4，5)；
典例2图
(3)当b＝1时，
点P及其对应点P1的坐标分别为P(a，1)和P1(a＋3，3)，
∵△P1AB的面积为12，A(－4，1)，B(－4，－3)，
∴×(1＋3)(a＋3＋4)＝12，
解得a＝－1，
∴点P的坐标为P(－1，1)．
变式 [2024·济宁期末]在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A′B′C′，位置如图所示．
变式图
(1)分别写出点A，A′的坐标：A____，A′____；
(2)请说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
(3)若点M(m，4－n)是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M的坐标为(2m－8，n－2)，求m和n的值．
解：(1)(1，0)，(－4，4)；
(2)由A(1，0)的对应点为A′(－4，4)，得点A向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点A′，
所以，△A′B′C′是由△ABC向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到的；
(3)∵点M(m，4－n)是三角形ABC内部一点，
∴△ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位，平移后对应点M′的坐标为(m－5，4－n＋4)，
∵平移后对应点M′的坐标为(2m－8，n－2)，
∴m－5＝2m－8，8－n＝n－2，
解得m＝3，n＝5.
1．[2024·北京期中]将点A(－4，1)向上平移3个单位长度，则对应点B的坐标为( B )
A．(1，2) B．(－4，4)
C．(5，3) D．(－9，－4)
2．[2024·德州期末]如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边长AB与x轴平行且AB＝3，AD＝2，点B的坐标为(4，－1)，沿某一方向平移后，点B的对应点B1的坐标为(1，3)，则点D1的坐标为( B )
第2题图
A．(－2，2) B．(－2，1)
C．(－3，1) D．(－3，3)
3．[2024·德州期中]点P(2a＋6，2－a)向左平移2个单位长度后，在第二象限内，则a的取值范围为__a<－2__．
4．[2023·青岛一模]如图，点A的坐标为(0，6)，将△AOB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，若点A的对应点A′落在直线y＝2x－1上，则点B与其对应点B′间的距离为____．
第4题图
5．[2024·日照期末]如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的位置如图所示．
第5题图
(1)写出△ABC三个顶点的坐标；
(2)把△ABC向左平移2个单位，向下平移4个单位得到△DEF，请画出△DEF；
(3)请求出△DEF的面积．
解：(1)A(－2，2)，B(2，0)，C(3，3)；
(2)△DEF如图所示：
第5题图
(3)S△DEF＝5×3－×5×1－×4×2－×3×1＝7.
