旋转的概念
在平面内，将一个图形绕一个定点按某一个方向(逆时针方向或顺时针方向)转动一定的__角度__，这样的变换叫做图形的旋转．这个__定点__叫做旋转中心，这个角叫做__旋转角__．旋转前图形上的点与旋转后所达到的点叫做对应点．经过旋转所得到的图形的位置是由旋转中心、旋转方向和旋转角确定的．
旋转的性质
1．旋转前的图形与旋转后图形__全等__．
2．一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离__相等__，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角__相等__．
生活中的旋转现象
典例1 [2024·玉林期中]下列现象属于旋转的是( C )
A．电梯的上下移动
B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程
D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
根据旋转的定义判断即可．
变式 [2024·芜湖期末]如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是( B )
变式图
旋转的性质
典例2 [2024·青岛期中]如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为____．
典例2图
由旋转的性质和等边三角形的性质可证∠EAD＝90°，利用勾股定理求出DE即可解决问题．
变式 [2024·潍坊期末]如图，将△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△DEC，DE，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为( D )
变式图
A．45° B．50° C．60° D．75°
1．[2024·菏泽期末]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，点D在斜边AC上，将△ABC绕点C顺时针旋转后与△EDC重合，连接AE，那么∠EAC的度数为__70°__．
第1题图
2．[2024·青岛期中]如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为__2__－2__．
第2题图旋转的概念
在平面内，将一个图形绕一个定点按某一个方向(逆时针方向或顺时针方向)转动一定的__ __，这样的变换叫做图形的旋转．这个__ __叫做旋转中心，这个角叫做__ __．旋转前图形上的点与旋转后所达到的点叫做对应点．经过旋转所得到的图形的位置是由旋转中心、旋转方向和旋转角确定的．
旋转的性质
1．旋转前的图形与旋转后图形__ __．
2．一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离__ __，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角__ __．
生活中的旋转现象
典例1 [2024·玉林期中]下列现象属于旋转的是( )
A．电梯的上下移动
B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程
D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
变式 [2024·芜湖期末]如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是( )
变式图
旋转的性质
典例2 [2024·青岛期中]如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为__ __．
典例2图
由旋转的性质和等边三角形的性质可证∠EAD＝90°，利用勾股定理求出DE即可解决问题．
变式 [2024·潍坊期末]如图，将△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△DEC，DE，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为( )
变式图
A．45° B．50° C．60° D．75°
1．[2024·菏泽期末]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，点D在斜边AC上，将△ABC绕点C顺时针旋转后与△EDC重合，连接AE，那么∠EAC的度数为__ __．
第1题图
2．[2024·青岛期中]如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为__ __ __．
第2题图旋转作图
一、旋转作图应具备的条件
(1)已知图形；(2)旋转中心；(3)旋转方向；(4)旋转角．
二、旋转作图的步骤
(1)定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
(2)找：找出图形上的关键点；
(3)旋：将原图中的每一个关键点与旋转中心连接，将关键点与旋转中心所连的线段按指定的方向旋转一定的角度(旋转角)，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形．
旋转中心的确定
典例1 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(－2，1)，C(－1，－1)，将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是__ __．
典例1图
变式 [2024·烟台一模]如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为( )
变式图
A．(1，1) B．(1，－1)
C．(1，0) D．(0，0)
旋转作图与直角坐标系中的旋转
典例2 [2024·青岛二模]如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(－2，3)，先把△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点B的对应点B2的坐标是( )
典例2图
A．(4，2) B．(2，2)
C．(3，5) D．(1，－3)
变式 [2024·济南期末]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，2)，B(－1，4)，C(－4，5)，请解答下列问题：
变式图
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(1，－1)，请作出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2；
(3)当四边形ABCD为平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
与旋转有关的计算和证明
典例3 [2024·上海期末]如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝6 ，点D、点E在边AC上，且∠DBE＝45°，若AE＝9，则CD＝__ __．
典例3图
变式 [2024·菏泽期末]如图，点E与点F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，∠EAF＝45°，以点A为旋转中心，将△ADF按顺时针方向旋转90°得到△ABF′.已知DF＝5 cm，BE＝3 cm，求EF的长．
变式图
1．[2024·徐州期中]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将△ABC绕旋转中心旋转某个角度后得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点是点A′，B′，C′，那么旋转中心是( )
第1题图
A．点Q B．点P
C．点N D．点M
2．[2024·德州期末]如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知△ABC的顶点均在格点上．
第2题图
(1)△A1B1C1可以看作是由△ABC经过怎样的变换得到，写出变换过程；
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
(3)在(2)的条件下，直接写出AA2的长度．
3．[2024·西安期中]如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°到CE，连接AE.
(1)求证：AE＝DB；
(2)若AD＝3 ，BD＝，求四边形AECD的面积．
第3题图旋转作图
一、旋转作图应具备的条件
(1)已知图形；(2)旋转中心；(3)旋转方向；(4)旋转角．
二、旋转作图的步骤
(1)定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
(2)找：找出图形上的关键点；
(3)旋：将原图中的每一个关键点与旋转中心连接，将关键点与旋转中心所连的线段按指定的方向旋转一定的角度(旋转角)，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形．
旋转中心的确定
典例1 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(－2，1)，C(－1，－1)，将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是__(1，－2)__．
典例1图
根据旋转的性质确定旋转中心即可．
变式 [2024·烟台一模]如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为( B )
变式图
A．(1，1) B．(1，－1)
C．(1，0) D．(0，0)
旋转作图与直角坐标系中的旋转
典例2 [2024·青岛二模]如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(－2，3)，先把△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点B的对应点B2的坐标是( C )
典例2图
A．(4，2) B．(2，2)
C．(3，5) D．(1，－3)
根据平移的性质及旋转的性质画出图象即可得出B2的坐标．
变式 [2024·济南期末]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，2)，B(－1，4)，C(－4，5)，请解答下列问题：
变式图
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(1，－1)，请作出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2；
(3)当四边形ABCD为平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
解：(1)如图所示△A1B1C1即为所求作；
变式图
(2)如图所示△A2B2C2即为所求作；
(3)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴点D的坐标为(－5，3)．
与旋转有关的计算和证明
典例3 [2024·上海期末]如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝6 ，点D、点E在边AC上，且∠DBE＝45°，若AE＝9，则CD＝__8__．
典例3图
由题意，得∠A＝∠C＝45°，AC＝＝12，CE＝3，将△BCE绕点B逆时针旋转至△BAF，点E的对应点为点F，连接DF，易知△BCE≌△BAF，再证明△DBF≌△DBE ，由全等三角形的性质，得DF＝DE，设AD＝x，则DF＝DE＝9－x，在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2＋AD2＝DF2，代入数值并解得x的值，然后计算CD的值即可．
变式 [2024·菏泽期末]如图，点E与点F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，∠EAF＝45°，以点A为旋转中心，将△ADF按顺时针方向旋转90°得到△ABF′.已知DF＝5 cm，BE＝3 cm，求EF的长．
变式图
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠D＝90°，
∵将△ADF按顺时针方向旋转90°得到△ABF′.
∴AF＝AF′，∠ABF′＝∠D＝90°，∠FAF′＝90°，
∴点F′在CB的延长线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝45°，
在△EAF和△EAF′中，
∴△EAF≌△EAF′(SAS)，
∴EF＝EF′＝F′B＋BE＝DF＋BE＝8 cm.
1．[2024·徐州期中]如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将△ABC绕旋转中心旋转某个角度后得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点是点A′，B′，C′，那么旋转中心是( C )
第1题图
A．点Q B．点P
C．点N D．点M
2．[2024·德州期末]如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知△ABC的顶点均在格点上．
第2题图
(1)△A1B1C1可以看作是由△ABC经过怎样的变换得到，写出变换过程；
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
(3)在(2)的条件下，直接写出AA2的长度．
解：(1)先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度(或先向上平移2个单位长度再向右平移4个单位长度)；
(2)如图，△A2B2C2即为所求作；
第2题图
(3)如图，
AA2＝＝＝2.
3．[2024·西安期中]如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°到CE，连接AE.
(1)求证：AE＝DB；
(2)若AD＝3 ，BD＝，求四边形AECD的面积．
第3题图
解：(1) 证明：∵CD绕点C逆时针旋转90°到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE＝DB；
(2)∵AD＝3 ，BD＝，
∴AB＝AD＋BD＝4 ，
设AC＝BC＝x，
根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
则x2＋x2＝(4 )2，
解得x＝4(负值舍去)，
∴AC＝BC＝4，
∵△BCD≌△ACE，
∴S△BCD＝S△ACE，
∴S四边形AECD＝S△ACE＋S△ACD
＝S△BCD＋S△ACD
＝S△ABC
＝AC·BC＝8.
