中心对称与成中心对称的定义
1．在平面内将一个图形绕某一定点旋转__ __，图形的这种变化叫做中心对称，这个定点叫做对称中心．
2．一个图形经过中心对称能与另一个图形重合，就说这两个图形__ __．
中心对称是旋转变化的特殊情况．成中心对称的图形是指两个图形．
中心对称的性质
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过__ __，且被__ __．
提醒：(1)成中心对称的两个图形，对应点的连线相交于一点，这个交点就是对称中心．
(2)对称中心到一组对应点的距离相等．
(3)对应线段互相平行(或在同一条直线上)且相等．
这是确定对应点和对称中心的依据．
中心对称的作图方法
作一个图形关于某一点成中心对称的图形的步骤：
(1)连接原图形上的关键点和对称中心；
(2)延长关键点到对称中心的线段，使得对应点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3)将对应点按原图形关键点的排列顺序依次连接起来，得到成中心对称的图形．
中心对称的定义
典例1 [2024·朝阳期中]下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是( )
变式 [2024·广州]下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( )
根据性质判断对称中心
典例2 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是( )
典例2图
A．(3，－1) B．(0，0)
C．(2，－1) D．(－1，3)
变式 [2024·珠海期中]如图，两个半圆分别以O，O1为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，A1，B1在同一直线上，则对称中心为( )
变式图
A．点O B．线段AO1的中点
C．点B D．线段AA1的中点
中心对称性质的应用
典例3 如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE.
典例3图
(1)哪两个图形成中心对称？
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
变式 [2024·永州期末]如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝2，AB＝3，∠BAC＝90°，则AE的长是__ __．
变式图
直角坐标系中的中心对称与中心对称作图
典例4 [2024·德州期末]在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为(－2，3)，则点B坐标为( )
A．(－2，－3)
B．(2，－3)
C．(2，3)
D．(－3，2)
变式1 [2024·驻马店期末]若点P(x＋1，y－1)关于原点的对称点Q的坐标为(3，－2)，则x＋y＝__ __．
变式2 [2024·济南期末]在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1)．
变式2图
(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)经观察：△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，请直接写出它们的对称中心的坐标____；
(4)请求出△A1B1C1的面积．
1．[2024·曲靖期中]下列各组图形中，不成中心对称的是( )
2．[2024·东营期末]在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)△A2B2C2可看作△A1B1C1以点(____，____)为旋转中心，旋转180°得到的．
第2题图中心对称图形的定义
在平面内，一个图形经过__ __能与原来的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的__ __．
中心对称图形是指一个图形．
中心对称图形的识别
典例1 [2024·潍坊期末]以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中是中心对称图形的是( )
根据中心对称图形的定义进行判断即可．
变式 [2024·青岛]下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
中心对称图形的作图
典例2 [2024·保定期末]请按下列要求画图(每小问各画出一种即可)．
典例2图
(1)在图1中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形；
(2)在图2中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形；
(3)在图3中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，并使它既成中心对称图形，又成轴对称图形，在图4中画出符合条件的图形．
变式 如图，有一长方形土地，地内有一口井，现将这块地平分给甲、乙两个承包户种植蔬菜，要求两家合用这口井浇地．请问应如何分？在图中画出分界线．
变式图
变式图
1．[2024·聊城期末]数学的世界，是一个充满美的世界，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称．以下图案中(不包含文字)，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
2．[2024·绵阳期中]如图，已知点A的坐标为(－2 ，2)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是( )
第2题图
A．(－2 ，－2)
B．(2 ，－2)
C．(2，－2 )
D．(－2，－2)
3．[2024·临沂预测]如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，阴影部分的面积为__ __．
第3题图
4．[2024·沧州期末]如图是由8个正方形组成的网格，现嘉嘉想再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是__ __．
第4题图中心对称图形的定义
在平面内，一个图形经过__中心对称__能与原来的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的__对称中心__．
中心对称图形是指一个图形．
中心对称图形的识别
典例1 [2024·潍坊期末]以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中是中心对称图形的是( C )
根据中心对称图形的定义进行判断即可．
变式 [2024·青岛]下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( D )
中心对称图形的作图
典例2 [2024·保定期末]请按下列要求画图(每小问各画出一种即可)．
典例2图
(1)在图1中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形；
(2)在图2中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形；
(3)在图3中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，并使它既成中心对称图形，又成轴对称图形，在图4中画出符合条件的图形．
(1)根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；
(2)先找一个中心，再根据中心对称的性质，画图即可；
(3)根据中心对称和轴对称的性质画一个图形．
解：(1)如图1(任答一个)，
图1
典例2图
(2)如图2，
图2
典例2图
(3)如图3，
图3
典例2图
变式 如图，有一长方形土地，地内有一口井，现将这块地平分给甲、乙两个承包户种植蔬菜，要求两家合用这口井浇地．请问应如何分？在图中画出分界线．
变式图
解：连接矩形的两条对角线，两线的交点为P，连接OP并向两边延长，分别与矩形的两边交于点M，点N，则MN即为所求作．
变式图
1．[2024·聊城期末]数学的世界，是一个充满美的世界，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称．以下图案中(不包含文字)，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( D )
2．[2024·绵阳期中]如图，已知点A的坐标为(－2 ，2)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是( B )
第2题图
A．(－2 ，－2)
B．(2 ，－2)
C．(2，－2 )
D．(－2，－2)
3．[2024·临沂预测]如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，阴影部分的面积为__30__．
第3题图
4．[2024·沧州期末]如图是由8个正方形组成的网格，现嘉嘉想再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是__③或④__．
第4题图中心对称与成中心对称的定义
1．在平面内将一个图形绕某一定点旋转__180°__，图形的这种变化叫做中心对称，这个定点叫做对称中心．
2．一个图形经过中心对称能与另一个图形重合，就说这两个图形__关于这个定点成中心对称__．
中心对称是旋转变化的特殊情况．成中心对称的图形是指两个图形．
中心对称的性质
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过__对称中心__，且被__对称中心平分__．
提醒：(1)成中心对称的两个图形，对应点的连线相交于一点，这个交点就是对称中心．
(2)对称中心到一组对应点的距离相等．
(3)对应线段互相平行(或在同一条直线上)且相等．
这是确定对应点和对称中心的依据．
中心对称的作图方法
作一个图形关于某一点成中心对称的图形的步骤：
(1)连接原图形上的关键点和对称中心；
(2)延长关键点到对称中心的线段，使得对应点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3)将对应点按原图形关键点的排列顺序依次连接起来，得到成中心对称的图形．
中心对称的定义
典例1 [2024·朝阳期中]下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是( A )
根据中心对称的性质判断即可．
变式 [2024·广州]下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( C )
根据性质判断对称中心
典例2 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是( A )
典例2图
A．(3，－1) B．(0，0)
C．(2，－1) D．(－1，3)
连接对应点AA1，CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标．
变式 [2024·珠海期中]如图，两个半圆分别以O，O1为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，A1，B1在同一直线上，则对称中心为( D )
变式图
A．点O B．线段AO1的中点
C．点B D．线段AA1的中点
中心对称性质的应用
典例3 如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE.
典例3图
(1)哪两个图形成中心对称？
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(1)直接利用中心对称的定义写出答案即可；
(2)根据成中心对称的图形的两个图形全等确定△BDE的面积，根据等底同高确定△ABD的面积，从而确定△ABE的面积；
(3)由中心对称的性质得AC＝BE，在△ABE中，根据三角形三边关系求得AE的取值范围，即可解题．
解：(1)图中△ADC和△EDB成中心对称；
(2)∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8；
(3)∵△ADC与△EDB关于点O中心对称，
∴AC＝BE＝3.
∵△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
∴2＜AE＜8，
∴1＜AD＜4.
变式 [2024·永州期末]如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝2，AB＝3，∠BAC＝90°，则AE的长是__5__．
变式图
直角坐标系中的中心对称与中心对称作图
典例4 [2024·德州期末]在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为(－2，3)，则点B坐标为( B )
A．(－2，－3)
B．(2，－3)
C．(2，3)
D．(－3，2)
根据关于原点对称的点的性质求解即可．
变式1 [2024·驻马店期末]若点P(x＋1，y－1)关于原点的对称点Q的坐标为(3，－2)，则x＋y＝__－1__．
变式2 [2024·济南期末]在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1)．
变式2图
(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)经观察：△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，请直接写出它们的对称中心的坐标____；
(4)请求出△A1B1C1的面积．
解：(1)△A1B1C1如图所示；
变式2图
(2)△A2B2C2如图所示；
(3)根据中心对称图形的性质，连接对应点的连线交于点(－2，0)，
∴△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心的坐标为(－2，0)．
故答案为：(－2，0)；
(4)S△A1B1C1＝3×3－×1×2－×2×3－×1×3＝3.5.
∴△A1B1C1的面积为3.5.
1．[2024·曲靖期中]下列各组图形中，不成中心对称的是( D )
2．[2024·东营期末]在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)△A2B2C2可看作△A1B1C1以点(____，____)为旋转中心，旋转180°得到的．
第2题图
解：(1)△A1B1C1如图所示，点C1的坐标为(－1，2)；
第2题图
(2)△A2B2C2如图所示，C2(－3，－2)；
(3)△A2B2C2可看作△A1B1C1以点(－2，0)为旋转中心，旋转180°得到的．
故答案为：－2，0.
