线段周长问题(二次函数综合) 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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线段周长问题(二次函数综合) 归纳练
2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，与轴交于点．
(1)直接写出点坐标 ，点坐标 ；
(2)求抛物线顶点的坐标；
(3)如图1，点是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点在第一象限内，过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交轴于点，过点作轴，垂足为点，当四边形的周长最大时，求点的坐标；
(4)如图2，将沿翻折得到，与轴交于点，在对称轴上找一点，使得是直角三角形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
2．综合与探究
如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值．
(3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标．
3．如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标．
4．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．抛物线过三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标；
(3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由．
6．如图，已知抛物线交轴于点、两点点在点的左侧，交轴于点，点为抛物线的顶点，连接．
(1)求直线的解析式．
(2)点、为轴上两点，其中、分别平行于轴，交抛物线于点和，交于点、，当的值最大时，在轴上找一点，使得值最大，请求出点的坐标及的最大值．
(3)如图，在抛物线上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，请出点的坐标及的面积，若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标；
(3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；
①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；
②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？
10． 如图，二次函数的图象交轴于、两点，并经过点，已知点坐标是，点坐标是．求二次函数的解析式；求函数图象的顶点坐标及点的坐标；二次函数的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)，；
(2)；
(3)；
(4)，，，．
（1）求出即可得到答案；
（2）将抛物线化为顶点式即可得到答案；
（3）证明四边形是矩形，得到四边形的周长表达式即可得到答案；
（4）证明，分三种情况进行讨论即可．
（1）解：与轴交于点，
，
故抛物线的解析式为：，
将代入，即，
解得，
，；
（2）解：，
故的坐标为；
（3）解：由（2）知，抛物线对称轴为，
设，
轴，
，
过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交轴于点，过点作轴，
四边形是矩形，
矩形的周长，
当时，四边形的周长最大，
此时的坐标为；
（4）解：过点作对称轴于，过点作轴于，
，
由翻折得，，
，．
，
，
对称轴于，
轴，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
直线的解析式为，
，
设，
，
，
，
分三种情况：①当时，，
，
解得，
；
②当时，，
，
解得，
；
③当时，，
，
解得，
，，
所以，，．
本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2．(1)，，
(2)
(3)或
（1）在中，分别令，，计算即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解；
（3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案．
（1）解：在中，令，则，
解得：，，
∴，，
令，则，即；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
由题意得：，则，
∵轴，
∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点，
如图，
，
∵交直线于点F，且，
∴当时，，即，
∴，
解得：，
∵点在第二象限，
∴，
∴；
（3）解：设，且，则，
∵，，
∴，，
如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于，
，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去），，
∴；
如图，当点在正方形的边上时，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
3．(1)
(2)3
(3)2.25，
（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得：，求出直线的解析式为，得出与轴的交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可得解；
（3）设，则，，表示出，结合二次函数的性质即可得解．
（1）解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式；
（2）解：由（1）可得：，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴；
（3）解：∵点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，
∴设，则，，
∴，
∴当时，有最大值，为，此时，即．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数综合—线段问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
4．(1)
(2)当时，有最大值，且最大值为
(3)存在，或或或
（1）根据，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点，，的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；
（3）首先求出，且，然后设，表示出，，，然后分，，三种情况讨论，然后分别根据菱形的性质求解即可．
（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为；
（3）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且，
∴令时，，则，，
∴，且
∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点，
∴设
∴，，
∴当时
∴
∴
∴，
∴当时，
∴
∴如图所示，当四边形是菱形时
∴
∴
∴
∴；
当时，
∴
∴如图所示，当四边形是菱形时
∴
∴
∴
∴；
∴时
∴
∴
∴
∴
∴
∴如图所示，四边形是菱形
∴
∴
∴
∴；
当时，
∴
∴
∴或（舍去）
∴当时，
∴
∴如图所示，四边形是菱形
∴
∴
∴
∴；
综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或．
本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)点的坐标为，，，
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的表达式，设点，则点，表示出即可求解；
（3）分情况讨论：当时；当时；当时利用相似三角形的性质求解即可．
（1）解：把代入得：，
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：设直线的表达式为
则，解得：
∴直线的表达式为
设点，则点
∴
设直线与直线交于点G，
∵
∴，，
在中，
∵，
∴，解得：（舍）
∴
（3）根据题意得，为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则为等
腰直角三角形，
分三种情况：
若，如图，过点P作轴，过点Q作，过点B作
∵
∴
∴
∴，
∴；
如图，
同理可证
∴，
∴；
若，如图，
同理可证
∴，
∴
∴；
如图，同理可得：
∴
∴；
若，如图，
过点Q作
同理可证
∵
此时不存在符合条件的P，Q
综上：点的坐标为，，，，
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
6．(1)
(2)；
(3)存在；，；或
（1）根据抛物线的解析式求得点A、D的坐标，然后利用待定系数法来求直线的解析式即可；
（2）根据平行线的性质和函数图象上点的坐标特征易得；结合二次函数最值的求法和两点间线段最短得到：要使值最大，则点、、三点在一条直线上，只需求得点，的坐标，利用待定系数法推知直线关系式，由该关系式来求点R的坐标即可；
（3）当时，点P在线段的垂直平分线上，结合三角形的面积公式进行解答．
（1）如图，
或，
，，．
设直线的解析式为：，把、的坐标代入，得
，
解得．
故直线的解析式为：；
（2）如图，
轴，轴，、，
、，，，
，，
．
，
当时，有最大值，此时，，
要使值最大，则点、、三点在一条直线上，
设直线：，则
解得
直线：．
当时，，则点的坐标是．
此时，的最大值为；
（3）如图，
设点．
当时，点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
点在的角平分线上，
，
解得，，
，
，，，
，，
，
或．
本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及三角形的面积计算．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
7．(1)；
(2)或；
(3)存在，．
（1）用待定系数法解题；
（2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可；
（3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题．
（1）解：∵点，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
把点，，代入抛物线中得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图中，连接，，
∵，，，
，
∴，
∴直线的解析式为，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
把点的坐标代入，
得到，，解得或，
∴或．
（3）如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接，
设，则，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是直线，
作点关于直线是对称点，连接交直线于，
连接，此时的值最小，
最小值．
本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
8．(1)
(2)①；②线段的最小值为
（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，则，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
如图，作轴于，则，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点在第三象限，
∴；
②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．
∴设，，设直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为；
联立得：，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
联立，
得出，
∴点在直线上运动，
在中，令，则，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，
，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，
∵，
∴线段的最小值为．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题．
9．(1)，；
(2)①；②，当时，的周长最大，最大值是．
（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式；
（2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可；
②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值．
（1）解：直线经过点，
，
，
直线解析式为，
点在此直线上，点的横坐标为，则，
点的纵坐标为，
，
抛物线交于、两点，
，
，
抛物线解析式为．
（2）解：∵点的横坐标为，则设，
∴，
过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为，
∴，则，
点，
，
①当点在轴上方时，
，是钝角，
，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
或舍，
当时，是等腰三角形；
②当点P在x轴下方时，，
，
，则，点，
，，
，，
∴的周长
，
∵，
当时，，
当时，的周长最大，最大值是．
此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的周长，两点坐标距离公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．，二次函数图象的顶点坐标为，点的坐标为；存在一点，使得的周长最小．当点的坐标为时，的周长最小，理由见解析．
只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令就可求出点的坐标；连接，由于是定值，使得的周长最小，只需最小，根据抛物线是轴对称图形可得只需最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点、、三点共线时，最小，只需用待定系数法求出直线的解析式，就可得到点的坐标．
解：把，代入得
，
解得：
∴二次函数的解析式为；
∴
∴二次函数图象的顶点坐标为．
令，得
解得：
∴点的坐标为；
二次函数的对称轴上存在一点，使得的周长最小．理由如下：
连接，如图，
∵点在二次函数的对称轴上，点、关于对称轴对称，
∴，，
∴的周长，
根据“两点之间，线段最短”，可得
当点、、三点共线时，最小，
此时，由于是定值，因此的周长最小．
设直线的解析式为，
把、代入，得
解得：
∴直线的解析式为．
当时，，
∴当二次函数的对称轴上点的坐标为时，的周长最小．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数，两点之间线段最短以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及两点之间线段最短是解题的关键．
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