特殊三角形问题(二次函数综合)? 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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特殊三角形问题(二次函数综合)
归纳练 2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6．
(1)求b，c；
(2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值；
(3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当是以为底边的等腰三角形时．
（i）求线段的长；
（ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值．
5．如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标．
(3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点A的坐标为，点B在第四象限，边与x轴交于点C，点M，R分别是线段的中点，过点M的抛物线（m，n为常数）的顶点为P．
(1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________；
(2)如图2，点N为中点，抛物线经过点N，E，点F在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标；
(3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，求出m的取值范围．
7．如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知抛物线交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正平轴于点C，且．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接交于点D，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点P作于点E，过点D作于点M，点F在线段上，点N在线段上，连接，，若，求线段的长度．
10．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点．
①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形；
②求出的最大面积及此时点的坐标；
③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)或或或
（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解；
（3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解．
（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点，
∴，
∵的面积，
∴，即点，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，
解得．
（2）解：由（1）得抛物线的表达式为，
令，即，
解的，或，
∴点，，
如图所示，过点作轴于点，
设点M的坐标为，
∴，，，，
∵
∴
，
∵，
∴当时，S最大值，
答：四边形的面积S的最大值为．
（3）解：设点P的坐标为，则，，，
当时，即，
解得（舍去）或3，即点P的坐标为；
当时，则，
解得或，即点P的坐标为或；
当时，则，
解得，即点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)或
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解；
（3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可．
（1）解：将、两点代入抛物线，
则，
解得：，
即抛物线解析式为：；
（2）解：将代入中，则，
∴，
又∵，
设直线的解析为，
则，解得：，
∴直线的解析为，
设，则，
∴，
∵，且，
∴当时，线段有最大值为；
（3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下：
∵，
∴
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵以点、、为顶点的三角形与相似，
∴或，
∵， .
∴，
设，则，
∴，
∴或，
解得(P与C重合，舍去)或或，
当时，，
当，时，，,
∴.P的坐标为或．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用，
3．(1)
(2)（i）；（ii）存在，点的坐标为
（1）根据对称轴直线得到，把点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）（i）根据题意，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，根据等腰三角形的定义得到，如图，过点作，则，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（ii）由（i）可知，，可得直线的解析式，设，若四边形为矩形，，根据点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，由此即可求解．
（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得，
直线的解析式为，
设，则，
，
由题意知，
如图，过点作，则，
，
在中，由勾股定理得，
解得（舍去），，
；
（ii）由（i）可知，，
设直线的解析式为，
将代入得，
，
设，
若以为顶点的四边形是矩形，如图所示，
∴四边形为矩形，
，
点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为矩形，满足题意，
点的坐标为．
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的判定方法和性质，平移的规律等知识，数形结合分析是解题的关键．
4．(1)
(2)
(3)①或；②a的值为或
（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；
（3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
（1）解：∵与y轴交点的坐标为，
∴，解得．
∴的解析式为 ；
（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，
∵，
∴的顶点的坐标为
易得点，
过点作轴于点，连接．

∴，，，
∵，
∴，即．
解得，
∴点E的坐标为；
（3）解：①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得或，
∴或；
②∵的解析式为，
∴当时，，
当时，；
当时，．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为．
∴，解得或（舍）或（舍）；
当时，函数的最大值为，函数的最小值为．
∴，解得或（舍）或（舍）；
Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，解得（舍）或（舍）；
Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．
综上，a的值为或．
本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
5．(1)
(2)或
(3)
（1）根据题意得到，结合利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，分点N在x轴上方和下方两种情况讨论，当点N在x轴上方时，根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出，则由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；当点N在x轴下方时，由对称性即可求解；
（3）如图，过点M作交于点H，设，求出，进而求出，解直角三角形得到，，从而求出在中，，，，，证明，求出，证明，由，得到关系式，利用二次函数的性质即可求解．
（1）解：，
，
，
，
，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，，
∴，
，
如图，
点N在抛物线的对称轴上，
，
当点N在x轴上方时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
；
当点N在x轴下方时，
由对称性得：；
综上，点N的坐标为或；
（3）解：如图，过点M作交于点H，
设，
点M是抛物线的顶点，
当时，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大，
此时点D的坐标为．
本题是二次函数的综合问题，考查了用待定系数法求二次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象及最大值，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与相似三角形问题，涉及分类讨论思想及方程思想，有一定的难度和运算量．
6．(1)；
(2)点的坐标为或
(3)或或
本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，平移的性质，分类讨论思是解题的关键.
（1）根据中点坐标公式解答即可；把代入解析式变形解答即可.
（2）根据，，是等腰直角三角形，得到，，，得到,，
结合点为中点，得到，代入解析式，结合计算即可得到函数解析式，根据，得到的解析式为；根据点点为中点，得到，
设，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，分点向左平移1的单位和向右平移1个单位，计算即可.
（3）分抛物线经过原点，抛物线的顶点在M处和抛物线在中点的右侧和得左侧或上面求解即可.
（1）∵，等腰直角三角形的顶点的坐标为，点分别是线段的中点，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；.
（2）∵，，是等腰直角三角形，
∴，，，
∴,，
∵点为中点，
∴，
代入解析式得，
∵，
解得，
故抛物线的解析式为.
设的解析式为；
把代入解析式为，得，
解得，
故的解析式为；
∵点为中点，，，
∴，
∵，，点F在线段上，
设，
当点R向左平移1个单位长度得到M时，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向左平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形；
∵点E在抛物线上，
∴，
解得(舍去),
故点；
当点M向右平移1个单位长度得到R时，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向右平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形；
∵点E在抛物线上，
∴，
解得(舍去),
故点；
综上所述，符合条件的点E的坐标为或.
（3）当经过原点时，
，
∵，
∴，
此时顶点为原点，也在抛物线上，符合题意；
故；
∵，
∴抛物线的顶点，
当抛物线的顶点在M上时，也是符合题意的，
此时即；
∵，，
∴它们的中点，
∵点在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点，
∴抛物线的对称轴，
∴，
解得；
综上所述，符合题意的m取值为或或.
7．(1)
(2)当时，取得最大值为．此时
(3)为直角三角形时，点M的坐标为：或
（1）把点坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求线的解析式，设点的横坐标为，再用的代数式表示的长度建立二次函数求解即可；
（3）先求直线BE的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
（1）由题意得，解得：．
则抛物线的解析式为：；
（2）过点P作轴于点H，交于点G
当时，，解得或3，
∴
设直线的解析式为：，
则
解得：
∴
设点（），则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
∴当时，取得最大值为．此时．
（3）在上存在点M，使为直角三角形．
抛物线顶点，设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴．
设，
①∵，∴，不可能为直角；
②当时，则 ∴轴，
则，∴，∴．
③当时，过点M作轴于点F．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∵，∴不合题意，应舍去，∴
∴
综上所述，为直角三角形时，点M的坐标为：或．
本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．
8．(1)
(2)，
(3)M点的坐标为或
（1）先求出C点坐标，根据题意求出的坐标，再用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出的解析式，设，，表示出的长度，从而表示从而求出二次函数的最大值即可；
（3）分两种情况①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点M；②当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，利用全等三角形的判定与性质进行求解即可．
（1）解：将，代入，得到，
，
，
，
，
，，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）设直线得解析式为，
，，
，解得：，
直线得解析式为，
设，
轴，
，
，，
为直线下方，
，
，
，
当时，的值最大，最大为，
则；
（3）①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点M，
，
，
此时使得，
，
设直线得解析式为，
，解得：，
直线得解析式为，
联立，解得：或，
；
①当M点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接，
，
当时，，
解得：或，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
则E即为M点，
，
综上所述，使得，M点的坐标为或．
本题考查了二次函数的几何应用，坐标与图形，二次函数的图形与性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，两点间距离公式等知识，分情况求解是解题关键．
9．(1)；
(2)；
(3)．
题目主要考查二次函数综合问题，面积问题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意确定、，作于E，结合图形表示出面积即可；
（3）根据题意及各角之间的关系确定，确定，根据正方形的判定和性质得出，截取，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
（1）解：把代入得：，
，
，
，
，
，
代入得，
；
（2）把代入得：，
，
且，
，
，
作于E，
，
，
，
；
（3）如图：
，且，
，
，
，
，
，
于E，
，
，
，
，
（舍），
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形，
，
，且，
，
如图，截取，且，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
．
10．(1)抛物线的解析式为；
(2)①是直角三角形；②；③
（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出；
②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可；
③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：将点，代入解析式得：
，解得：，
∵抛物线的解析式为；
（2）解：①配方得，
∴点P的坐标为，
令，则，
∴
作轴于点H，则，
∴
又∵在中，，
∴，
∴
∴是直角三角形；
②设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∴，
当时，的最大面积为，
，
∴
③设点，过点P作轴于点N，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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