圆与三角形的综合(圆的综合问题)? 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台
圆与三角形的综合(圆的综合问题)
归纳练 2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．如图，在中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
2．在中，延长直径至点，以为一边的等腰三角形，，底边与交于点，直线是的切线，交于点．
(1)如图①，当时，求和的大小；
(2)如图②，当且直线恰与相切．若，求的长．
3．如图，点A，B，D，E在以为直径的上，，的延长线交于点C，且，过点D作交AC于点F．
(1)求的值；
(2)求证：是的切线；
(3)在上是否存在点E，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
4．如图1，在四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点E．

(1)证明：；
(2)若；
①证明：是的切线
②如图2连接交于点F，连接，求的度数
5．已知，上有点A，B，连接，，，，C为的中点，连接．
(1)如图①，求的大小和的长；
(2)如图②，延长至点D，使得，过点D作的切线交的延长线于点E，切点为F，连接，求的长．
6．综合探究
如1图、2图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长至点D，使得，过点D作于点E，连接．
(1)如1图，当点E与点O重合时，求证：是等边三角形；
(2)如2图，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，求证：．
(3)当时，求的长．
7．如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点．
(1)若，，求的长；
(2)求的度数；
(3)当点在直线上方的上运动时，求证：．
8．如图，中，，点为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接．
(1)求证；
(2)请你添加一个条件 ，使四边形为菱形．
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
9．已知四边形为的内接四边形，为直径，弦、相交于点，连接，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，作，与的延长线交于点，与的延长线交于点，交于点．求证：；
(3)如图，在（）的条件下，连接交于点，，，，求的半径．
10．内接于半径为的，且．
(1)如图，求证：；
(2)如图，在弧上，，交延长线于，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，延长交延长线于，若，，求的长．
参考答案
1．(1)见解析
(2)
本题考查了切线的判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解题的关键．
（1）连接，则，由，可得，再根据可得，可推出，即可证明；
（2）由，，可得，设半径为，在中，由勾股定理列方程，即可求解．
（1）（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
利用勾股定理求得，
，
设半径为，
在中，由勾股定理得：，
即
解得：，
的半径为．
2．(1)，
(2)
（）根据等腰三角形的判定与性质可知，最后利用平行线的判定与性质以及切线的性质即可解答；
（）根据等边三角形的判定与性质可知，再利用切线的性质及角平分线的判定可知，最后利用锐角三角函数及平行线的判定与性质即可解答．
（1）解：连接，
∵直线是的切线，
∴，
∵，，是等腰三角形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵直线，是的切线，
∴，
∴，，又，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，．
本题考查了平行线的判定与性质，切线的性质、等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定与性质以及切线的性质是解题的关键．
3．(1)
(2)见解析
(3)存在，
（1）根据四边形为的内接四边形，可得，再由等腰三角形的性质即可求解；
（2）由，，可得，进而证明，结合（1）中，可证，即可得证；
（3）若，则，此时为中点，设，则，结合（2）中结论可得四边形是平行四边形，进而得到，为等边三角形，即可求解．
（1）解：连接，
点A，B，D，E在以为直径的上，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
为中点，
；
（2）连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在上，
是的切线；
（3）由（1）得∶为中点，
，
若，则，此时为中点，
存在满足题意的点，此时与交点点为中点，即有，
设，则，
，
，
，
由（2）得：，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，，
．
本题考查了圆内接四边形的性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，圆与三角形的综合应用，正确辅助线的添加是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)见解析；
（1）连接，证明，得出，根据等腰三角形的性质求出即可；
（2）①根据是的直径，得出，证明，得出，求出，即可证明结论；
②连接，证明A、E、F、D四点共圆，得出，求出，即可得出答案．
（1）证明：如图1，连接，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵是半径，
∴是的切线；
②如图，连接，

∵为直径，
∴，
∵，
∴E，F都在以为直径的圆上，
∴A、E、F、D四点共圆，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定和性质，四点共圆，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
5．(1)，
(2)
本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理和圆的切线的性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题的关键．
（1）利用垂径定理和含角的直角三角形的性质解答即可；
（2）连结，根据切线的定义及，求出度数，再根据圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质求得线段，，再利用勾股定理解答即可．
（1）上有点A，B，连接，，C为的中点，
，，
，
，
，
，
在中，
．
（2）连结，如图，
为的切线，
．
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
在中
．
6．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)BC的长为或
（1）证明，再证明，得到．即可得到结论；
（2）先证明是的中位线，得到，由与半圆O相切，得到，即可得到结论；
（3）分点E在上和点E在上两种情况，利用勾股定理分别进行求解即可．
（1）证明：是半圆O的直径，
．
又，
垂直平分，
．
点E与点O重合，
．
∵，
．
．
∴是等边三角形；
（2）证明：点C是的中点，点O是的中点，
是的中位线，
∴
又与半圆O相切，
．
（3）解：，
．
①如图，当点E在上时，，．
，，
∴在和中，由勾股定理得，
即，
解得．
．
②如图，当点E在上时，同理可得，
解得．
．
综上所述，的长为或．
此题考查了切线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，分类讨论是解题的关键．
7．(1)8
(2)
(3)见详解
本题考查圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，三角形内角和定理．
（1）在直角中，直接用勾股定理即可求出；
（2）由是的内心，，，易得，故，所以；
（3）连接，则，由点是的内心，易得是等腰直角三角形，则，然后利用三角形外角性质证得即可．
（1）解：∵是直径，
∴
∴
，，
解得：
∵
∴；
（2）∵是的内心
∴设，
∵，
∴
即
∴
∴；
（3）如图，连接，则
点是的内心
∴平分
∴
∴
是等腰直角三角形
,
,
∴．
8．(1)证明见解答过程
(2)（答案不唯一）
(3)的长为3
（1）连接，由是的切线，得，故，有，而，有，又，知，故，根据四边形是的内接四边形，可得，即可证明；
（2）可添加的条件是（答案不唯一），根据菱形的性质求解即可；
（3）连接，由，得，而四边形为菱形，知，即可得是等边三角形，，可求出，，从而，从而可得的长为3．
（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
在和中，
，
；
（2）解：添加的条件可以是：或或或（添加不唯一），
添加的条件是：，
由（1）可知，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形；
故答案为：( 或或或)；
（3）解：如图，连接，
由（1）知，，
，
四边形为菱形，
，
，
，
为等边三角形，
，
∵
∴，
，
，
，
．
本题主要考查切线的性质、平行线的性质、四点共圆、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
9．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)的半径．
（）利用圆周角定理，平行线的判定与性质解答即可；
（）连接，设，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；
（）连接，作 于点R，利用圆周角定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得到，设，则，，利用直角三角形的边角关系定理求得，在直角三角形中，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可得出结论．
（1）为直径，
，
，，
，
，
，
（2）连接、，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
（3）连接 ，
由（2）得，
，
，
，
，
为直径，
，
作，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
，，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）连接、，根据圆周角定理，得出，，利用勾股定理证明即可；
（2）连接、、，由（1）得，，根据等边对等角，三角形内角和定理，求出，利用证明，得出，推出，设，根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据垂径定理，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质，得出，推出，即可证明；
（3）在（）的条件和证明过程下，在上取点，使得，过点作交延长线于点，过点作于点，推出，根据等角对等边，得出，利用证明，推出，结合，推出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，根据勾股定理计算，根据，计算，求出，根据，计算得出答案即可．
（1）证明：如图，连接、，
∵内接于半径为的，且，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图，连接、、，
∵由（1）得：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵交延长线于，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在（）的条件和证明过程下，在上取点，使得，过点作交延长线于点，过点作于点，
∴，，
∴，
∵由（2）得，，，
∴，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、垂径定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)