仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
归纳练 2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．如图是某市的广播电视中心，小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高度．他先在B处用测倾器测得电视中心顶端E的仰角为，再从B沿方向走了米到达D处，在D处竖立标杆，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一条直线上，已知米，测得米．点B、M、D、F在同一条直线上，．根据上述数据，计算该广播电视中心的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）
2．小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为，然后他向前走了到达C处，测得树顶A的仰角β为．已知，点B，C，O在同一条直线上，请你帮助小鹏计算出古树的高度．(结果精确到，参考数据：，，，)
3．头屯河大桥是连通乌昌的交通要道．某数学小组想利用无人机测量头屯河大桥桥面距水面的高度，制定了如下测量方案：当无人机位于水面上方62米的N处时，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为，并抽象出如图所示的数学图形．请利用以上信息求头屯河大桥桥面距水面的高度．（参考数据：，，）．
4．某校实践活动小组到当地电力部门安装的一批风力发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔杆（如图①）高度进行了测量数据采集：如图②是其测量示意图，在这架风力发电机附近的一幢建筑物楼顶D处测得塔杆顶端A处的仰角为，底部B处的俯角为，已知，图中点A、B、C、D均在同一平面内，建筑物的高为11米，请计算该风力发电机的塔杆高度（参考数据：，，）．
5．为了加强道路管理，严查超速行为，某地交管部门在主要路段拍照测速，如图，一架无人机在道路正上方的点D处，米，现有一辆轿车沿着方向行驶，无人机第一次拍摄时，轿车在点A处，测得轿车的俯角为，无人机第二次拍摄时，轿车行驶到点B，测得轿车的俯角为，无人机两次拍摄的时间间隔为3秒．（图中的点均在同一平面内，参考数据：）
(1)求轿车在拍摄时间内行驶的距离的长．
(2)若该路段限速60千米/时，超速未超过10%，采取警告措施，超过10%，则需要交罚款．请通过计算说明该司机是否需要交罚款．
6．如图，在淮河的右岸边有一座高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点处，在水平面上的投影为点，此时在处测得楼顶的仰角恰好等于，求楼的高度．（结果保留整数）（参考数据）
7．在一处坡度为的坡地上新安装了一个路灯，某校实践活动小组对该坡地上的这个路灯高度进行了测量，如图为测量示意图．已知斜坡长5米，在地面点处测得路灯顶端点的仰角为，利用于无人机在点C的正上方10米的点处测得点的俯角为，求该路灯的高度．（精明到1米，参考数据：，，）
8．如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长为，斜坡的坡度，在C，D处测得楼顶端A的仰角分别为和．
(1)求点D到地平面的距离；
(2)求居民楼的高度（保留根号）．
9．小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）．
(1)求的长；
(2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，）
10．朱樱塔位于洛阳市瀍河区，是洛阳八小景之一“瀍壑朱樱”的主要景观．2015年，在洛河水系综合整治工程中，以隋唐洛阳城为原型新建了朱樱塔，还原“瀍壑朱樱”景观．朱樱塔为八角塔，五层六檐，其塔的层数明五暗九，暗合“九五之尊”，八角形塔身契合周易八卦八个方位．如图，周末，某学校九年级课外兴趣小组在老师的指导下测量塔的高度，他们先在塔一侧的水平面上一个台阶的底部处测得塔顶点的仰角，然后走上台阶顶部处，测得塔顶点的仰角．若台阶的高，求朱樱塔的高度PE．（点在一条直线上，结果保留整数，参考数据：）
11．近年某省大力推进风电规模化开发，在风力发电机组中“风电塔筒”的高度是重要的设计参数，某校数学小组开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，一风电塔筒垂直于地面，测角仪、在的两侧，且、均与地面垂直，点、在同一条直线上，，点与点相距，在处分别测得点的仰角为、，求风电塔筒的高度（参考数据：，）．
参考答案
1．302米
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
延长，交于H，根据列出比例式，得到，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
解：如图，延长，交于H，
则米，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
解得：，
答：该广播电视中心的高度约为米．
2．古树的高度约为．
本题考查了解直角三角形的应用．设，在中，求得，在中，求得，根据，列式计算即可求解．
解：延长交于点F，则，
，．
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
由题意得，
∴，即，
解得，即．
∴．
答：古树的高度约为．
3．23米
本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
延长交于点C， 设米，则米，则，，列出方程求出x的值，即可解答．
解：延长交于点C，如图
由题意得
设米，则米
在中
∴
在中，∵，
∴
∴
解得：
∴米，米
答：头屯河大桥桥面距水面的高度为23米．
4．
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．过点D作于点E，可得四边形是矩形，得，得，根据，得，即得．
解：过点D作于点E，
则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵米，
∴米，
∴（米），
∵，
∴，
∴（米），
∴（米），
故塔杆高31米．
5．(1)的长为60米
(2)司机需要交罚款，理由见解析
本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角形外角的定义及性质、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得出，设米，则米，由勾股定理计算得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可推出米；
（2）求出司机的速度与最大速度，比较即可得解．
（1）解：∵米，，，
∴，
设，则，
根据勾股定理可列方程为，
解得（负值舍去）．
易知的外角，，
则，
∴米，
即轿车在拍摄时间内行驶的距离的长为60米．
（2）解：∵无人机两次拍照间隔3秒，轿车行驶了60米，
∴车速为20米/秒，即72千米/时，
该路段限速60千米/时，
∴超速了，超速，超速超过10%，
∴司机需要交罚款．
6．137米
设米，根据题意可有米，利用勾股定理解得的值，易得米，米；过点作，垂足为，易知四边形为矩形，可得，再证明是等腰直角三角形，并设米，则可确定，的长度，然后在中，利用三角函数解得的值，即可获得答案．
解：由于山坡的坡度，设米，则米，
又∵，
∴，即，
解得米，
∴米，米，
过点作，垂足为，如图所示，
则有，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
设米，
∴米，米，
在中，，即，
解得，
答：楼的高度约为137米．
本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键．
7．该路灯的高度为5米
延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，在中，设米，则米，由勾股定理求出，则米． 设米，在中，求出，在中，求出，然后根据即可求解．
解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：四边形是矩形，
，米，
在中，，
设米，则米，
，
，
解得：，
米．
设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
（米），
，
解得：，
米，
（米），
答：该路灯的高度为5米．
本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角和坡度问题，灵活运用锐角三角函数是解题关键．也考查了矩形的判定与性质，勾股定理．
8．(1)
(2)居民楼的高度为
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，根据斜坡的坡度，得出，设，则，求出，根据，求出，即可得出答案；
（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
（1）解：过点作，交的延长线于点，
∵斜坡的坡度，
∴，
在中，，
设，则，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴点D到地平面的距离为；
（2）解：如图，过点作于，
根据解析（1）可知：，，
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
．
答：居民楼的高度为．
9．(1)米
(2)米
本题考查了解直角三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解题的关键；
（1）本题根据，然后即可求解；
（2）本题根据，求得，即，再根据，即可求解；
（1）解：由题得，，
∴在中，，
∵，，，
∴，
解得：，
故的长为米；
（2）解：延长和相交于点，如图：
，
由题得：，四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴建筑物的高度为米；
10．37米
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题．设朱樱塔高，则，，台阶的高，得出，再得出，根据，列出，求解即可．
解：设朱樱塔高，则，，
台阶的高，
，
在Rt中，，
，
，
，
在RtPEA中，，
，
，
，
解得
答：朱樱塔的高度约为37米．
11．风电塔筒的高度约为
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接交于点，根据题意可得：，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
解：连接交于点，
由题意得：，，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
风电塔筒的高度约为．
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