期中模拟训练 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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期中模拟训练
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，，3
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
5．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
6．下列各图是以直角三角形三边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数字及字母表示该正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
8．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）．

A．42 B． C． D．
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ）
A． B． C． D．
11．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在菱形ABCD中，对角线，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动和过程中，的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．与最简二次根式能合并，则 ．
14．如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为 ．
15．若，则的值是 ．
16．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴，良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，运用所学知识求出绳索的长是 尺．
17．如图，在平行四边形中，为上任意一点，若的面积为，的面积为，则的面积为 ．
18．已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：
①；
②点到直线的距离为；
③；
④；
⑤，
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)．
20．如图，□ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）求证：BF=DE；
（2）如果∠ABC=75°, ∠DBC=30°，BC=2，求BD的长．
21．如图，已知点是等边内一点，连结，，，D为外一点，且，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的度数．
22．如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
(1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
(2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
(3)若AC=6，AB=8，求BF的长．
23．已知，如图，在矩形中，，．延长到点，使，连接．
(1)动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，当的值为__________时，以、、为顶点的三角形和全等；
(2)若动点从点出发，以每秒1个单位的速度仅沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由．
24．如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接．若，求的长．
25．如图，四边形中，，使，，于点E，且．
(1)求的长．
(2)若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动．设运动时间为t秒．
当t= 秒时，四边形是矩形．
当t为何值时，线段与四边形的边构成平行四边形？
参考答案
1．B
本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可．
解：A、中，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、不是二次根式，不符合题意；
D、中，不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．C
本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、，不能构成三角形，故不是直角三角形；
B、，故不是直角三角形；
C、，是直角三角形；
D、，故不是直角三角形；
故选：C．
3．A
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除运算法则．
分别根据二次根式的乘法，减法，加法，除法法则对每个选项进行分析判断．
A、根据二次根式乘法法则，则，该选项正确．
B、根据二次根式减法法则， ，该选项错误．
C、与不是同类二次根式，不能直接相加，即，该选项错误．
D、，该选项错误．
故选：A．
4．D
本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，计算各个角的度数，根据边之间的等量关系，结合勾股定理来判断各个选项是否符合题意．
解：A．∵，，∴，∴能判定为直角三角形；
B．∵，∴，∴能判定为直角三角形；
C．∵，∴，∴能判定为直角三角形；
D．∵，∴，∴不能判定为直角三角形．
故选D．
5．D
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线的性质，由菱形的性质可得，由三角形中位线的性质可得，故可求解．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点E是的中点，，
∴，
故选：D．
6．D
本题主要考查了勾股定理的应用，
根据勾股定理可知以直角三角形的三边为边长分别作三个正方形，两个正方形的面积和等于最大正方形的面积，逐个判断答案即可．
解：因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为，所以D符合题意．
故选：D．
7．B
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解．
解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
的平分线和的平分线交于上一点
，
，，
，
故选：B．
8．D
本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键．
解：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，点G是的中点，
，
，
，
，
，
故选：D．
9．D
本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，再根据平行线的性质可得：，从而可得，进而可得，最后根据等边三角形的判定可得：是等边三角形，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而中，利用含30度角的直角三角形性质可得，再利用勾股定理求出的长，从而进行计算即可解答．
解：过点作，垂足为点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
折叠后椅子比完全打开时高，
故选：D．
10．B
本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入计算即可．
解：，
，
，
故选：B．
11．B
连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解．
解：连接，如图所示：
点、、分别是、、的中点，
，，
为等边三角形，也是等边三角形，
，
，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
，
在和中，
，
，
同理，可得，
，
，
，
，
，解得，
故选：B．
本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键．
12．C
设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，可得此时EP+FP的值最小，最小值为NF，再由菱形的性质证得四边形ANFB是平行四边形，然后根据勾股定理求出AB，即可求解．
解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，
∴PN=PE，
∴PE+PF=PN+PF，
∴此时EP+FP的值最小，最小值为NF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN=CF，
∴，
∴AP=CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合， 即NF过O点，
∵，AN=BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BO=BD=4，
由勾股定理得：AB=5，即NF=5，
∴的最小值是5．
故选：C
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
13．
本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可．
解：，
与最简二次根式能合并，
，
解得： ，
故答案为： ．
14．/96平方米
本题考查勾股定理及其逆定理．根据勾股定理，求得，根据勾股定理逆定理，可判定是直角三角形，．
解：连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
中，；
∵，
∴，
∴．
故答案为：
15．4
根据二次根式的被开方数是非负数，可以得到，再根据分母不能为0确定出x的值，从而得到y的值，代入即可.本题主要考查了二次根式的非负性及分式有意义的条件当时由意义，分式的分母不为0时分式有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
解： ，且，
，且，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：4
16．
本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解．
解：由题意可知：尺，尺，
∴（尺），
设绳索尺，
根据题意得：，
解得．
答：绳索的长为尺．
故答案为：．
17．
本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，则，，过点作交于点，根据，，则，根据，即可．
过点作交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵为上任意一点，
∴，
∵的面积为，的面积为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．①②③④
①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
④在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；
⑤连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
又∵BE＝，
∴BF＝EF＝BE＝；
故此选项成立；
④∵EF＝BF＝，AE＝1，
∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝，
∴S正方形ABCD＝AB2＝；
故此选项成立；
⑤如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝1，
∴EP＝，
又∵PB＝，
∴BE＝，
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝，
∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣．
故此选项不成立；
综上可知其中正确结论的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．
19．(1)
(2)
此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算．
（1）利用负整数指数幂、零指数幂、二次根式的加减法计算即可；
（2）利用积的乘方和完全平方公式计算，再用二次根式加减法计算即可．
（1）解：
（2）
20．(1)证明见解析；（2） +1．
(1)根据矩形的性质和已知条件证得△ADE≌△CBF，再利用全等三角形的性质即可证明；
(2)先根据矩形的性质、勾股定理等知识求得AE的长,进而求得DE和BD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°．
在△ADE和△CBF中，
∠AED=∠BFC，∠ADE=∠CBF，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴DE=BF．
（2）解：∵∠ABC=75°，∠DBC=30°，
∴∠ABE=75°-30°=45°．
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BDC=45°，
∵AD=BC=2， ∠ADE=∠CBF=30°，
∴在Rt△ADE中，AE=1，DE==．
在Rt△AEB中，∠ABE=∠BAE=45°．
故AE=BE=1，则BD= +1．
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，弄清题意、证得△ADE≌△CBF是解答本题关键．
21．(1)见解析
(2)
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．
（1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在与中，
∴（SAS）；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)四边形ADCF是菱形，理由见解析．
(2)BF=，理由见解析．
(3)BF=
(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD=CD=BD，证明△AEF≌△DEB，则AF=BD，则AF=CD．又由于AFCD，因此四边形ADCF是平行四边形，又因AD=CD，因此四边形ADCF是菱形．
(2)由正方形的性质可得FC=CD=AD，由(1)知AD=DB，则FC=CD=DB，则CB=2FC．根据勾股定理可得BF=CF，又因为CF=AD=2AE，因此BF=．
(3)连接FD交AC于O点，作FG垂直于BA的延长线于D点，先证明四边形OFGA是矩形，则FG=OA==3，GA=OF=OD．由中位线的性质得OD==4，则GA=4，GB=12，根据勾股定理可求得BF的长．
（1）∵△ABC中，∠CAB=90 ，AD是BC边中线，
∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）BF=，理由如下：
∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）
如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90 ．
∵∠CAB=90 ，
∴∠CAG=90 ．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90 ，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
本题是一道有关四边形的综合性题目，考查了直角三角形的性质，菱形的判定，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)3或13；
(2)当或4或时，为等腰三角形．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键；
（1）分两种情况讨论：此和为对应边时，如图，当和为对应边时，再利用全等三角形的性质可得答案；
（2）先利用勾股定理求解，再分三种情况讨论即可．
（1）解：如图：
此和为对应边时，≌，有，
此时；
如图，当和为对应边时，则，
点运动的距离为，
此时，
故t的值为3或13．
故答案为：3或13．
（2）如图，连接，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
若为等腰三角形，
则或或，
当时，
，，
，
，
，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
在中，．
，
，
，
，
，
综上所述：当或4或时，为等腰三角形．
24．(1)见解析
(2)
（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论．
（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
25．(1)
(2)；或
（1）先在中求出的长，进而可求出的长．
（2）先画图，由于四边形是矩形，那么矩形的对边相等，于是，再根据路程速度时间，可得，进而可求出t；有两种情况，1）线段与构成平行四边形，2）线段与构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出式子，进而可求出t．
（1）解：，
，
又， ，
，
，，
四边形是等腰梯形，
；
（2）设运动时间为t时，四边形是矩形，如图，
四边形是矩形，
，
，
解得，
故答案为：；
有两种情况：
1） 设运动时间为t时，线段与构成平行四边形，如图，
四边形是平行四边形，
，
，
解得；
2） 设运动时间为t时，线段与构成平行四边形，如图，
四边形是平行四边形，
，
，
解得；
综上所述，当或时，线段与四边形的边构成平行四边形．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质，解题的关键是画出相关的图，根据图找出等量关系，进而求出t．
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