角度问题(二次函数综合) 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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角度问题(二次函数综合) 提前练
2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．如图，已知二次函数的图象经过点、，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为抛物线的顶点，连接、，求四边形的面积
(3)若点是抛物线图象上的一点，且满足，请直接写出满足要求的所有点的坐标．
2．如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接．
(1)求拋物线的解析式；
(2)为抛物线上一点，若，求点的坐标；
(3)如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标；
(3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标．
5．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)点Q是线段上一动点，过点作轴交抛物线于点M，当最大值时，求点M的坐标；
(3)抛物线上存在一点P，使得，请直接写出P点的坐标．
6．在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标．
7．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
(1)求抛物线解析式；
(2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值．
(3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点三点，其对称轴为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，且满足，求点的坐标．
9．如图1，抛物线经过点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一个点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求的坐标以及的面积的最大值；
(3)如图3，将点D向左平移1个单位长度得到点N.将抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点N，射线与新抛物线交于点R，连接，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)，
（1）运用待定系数法将，，代入，即可求解；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，根据四边形的面积为，即可求解；
（3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与平行的直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解．
（1）解：设二次函数解析式为，其图象经过点，，，
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵，
∴，
过点D作轴交直线于点E，如图1，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴
∴四边形的面积为
（3）解：抛物线上存在点P，使，理由如下：
如图2，
①取点关于对称轴的对称点，连接，，
∵，，
，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴符合题意；
②当直线时，则有，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式中一次项系数为1．
设与平行的直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立抛物线解析式得：
，
解得：或（不合题意，舍去），
∴．
综上所述，，．
本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．
2．(1)
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为
本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数的综合应用，平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，先得出点的坐标为，点的坐标为，结合令是该方程的根，解得，即可作答．
（2）读懂题意，然后进行分类讨论，即点在轴上方，或点在轴下方，分别作图，再运用二次函数的图象性质列式计算，即可作答．
（3）依题意，假设存在点．因为与互相平分，所以且，因为且轴交抛物线于点，则，得①，②，联立①②，解得：，将代入中得，即可作答．
（1）解：依题意，令，得，即点的坐标为，
∵，
，即点的坐标为，
令是该方程的根，
，
得，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：依题意，设点坐标为，
如图，若点在轴上方，作轴于点，
由（1）知：，
，
，
即：，
得：或（舍去），
此时点坐标为，
若点在轴下方，
同理得：，
即：，
得：或（舍去），
此时点坐标为；
综上：点的坐标为或；
（3）解：依题意，假设存在点．
当四边形是平行四边形时，与互相平分，
且，
且轴交抛物线于点，
则，
故点与点是一对对称点，
①，
又，
②，
联立①②，解得：，
将代入中得：，
点的坐标为．
3．(1)
(2)点坐标为
(3)存在，点坐标为或
本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键．
（1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式．
（2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标．
（3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标．
（1）解：把点代入中，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：作于，于，
当时，，
∴点坐标为，
设解析式为：，
，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为．
（3）解：作过三点的圆，连接，作于，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（不合题意舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为或．
4．(1)
(2)或
(3)或
（）利用待定系数法解答即可求解；
（）利用二次函数的对称性可得点坐标，即得，再根据平行四边形的性质可得，，进而解答即可求解；
（）先求出直线的解析式，再分和点关于对称轴对称两种情况，分别画出图形解答即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）解：把代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∵以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形，
∴，，
∴点的纵坐标相同，
设点的横坐标为，则，
∴，
∴或；
（3）解：把代入，得，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作交抛物线于点，则，
设直线的解析式为，把代入得，
，
∴，
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴；
当点关于对称轴对称时，可知，
∴，
此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
5．(1)，
(2)
(3)或
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据题意画出图形，分类讨论是关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式的顶点式得出顶点D的坐标即可；
（2）先求出点C的坐标，再利待定系数法求出线的解析式，设，则，得出，即可求解；
（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分两种情况讨论：当点P在点B的下方，由得，由待定系数法求出直线的解析式，即可求解；当点P在点B的上方，如图，交于点E，设，由得，由两点间的距离公式得关于n的方程，解方程即可求解．
（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴当时，取最大值，
此时，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
分以下两种情况：
当点P在点B的下方，如图，
∵，
∴，
∴可设直线的解析式为，将代入得，，
∴直线的解析式为，
令，
解得，，
∴令，则，
∴；
当点P在点B的上方，如图，交于点E，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得或，
令，则，
∴；
综上所述，抛物线上存在一点P，使得，P点的坐标为或．
6．(1)
(2)，周长的最小值
(3)或
（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解；
（2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； 过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，即可求解；
（3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标．
（1）解：由题意得
，
解得：，
；
（2）解：过点作轴于，交直线于，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
当时，取得最大值，
，
，
故的最大值，；
如图，过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，
周长为
（3）解：，，
，，
，
，
设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，
原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，
，
经过，
，
整理得：，
解得：，，
，
联立，
解得：或，
，
①当在直线的上方，
如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
同理可求直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
②当在直线的下方，
如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，
由①同理可求：，
，
同理可求直线的解析式为，
设，
，
，
，
，
解得：，，
当时，
，
不合题意舍去，
当时，
，
，
同理可求直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
综上所述：点的坐标为或．
本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)点K的横坐标为或或或
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）中的解析式可得点在直线上，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，，表示出三角形的面积结合二次函数的性质得出当时，的面积有最大值，为，此时，作交于，交对称轴于，交轴于，由直线的解析式得出，从而可得，，当、、、四点共线时，的值最小，用面积法求出，即可得解；
（3）求出新的抛物线，，再分两种情况：当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，分别求解即可得解．
（1）解：将，代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，为，此时，
作交于，交对称轴于，交轴于，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当、、、四点共线时，的值最小，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：∵，直线的解析式为，
∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到新的抛物线，
在中，当时，，即，
当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，
，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，满足题意，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点K的横坐标为或；
如图，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，
，
由轴对称的性质可得，，，
此时，满足题意，
设，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点的横坐标为或；
综上所述，点K的横坐标为或或或．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
8．(1)
(2)①②
（1）根据点坐标可以求出，根据对称轴直线可以求出；
（2）①过作于，根据三角形内角和定理，可以得出，所以可以得出，设直线的表达式，从而得出和的坐标，再根据两点距离公式求解即可；
②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答．
（1）解：令，，
，
抛物线的对称轴直线为：，
，
；
（2）解：令，则或，
，，
直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
，
联立直线和的表达式：
，
，
①过作于，如图：
，
又，
，
又，
，
为等腰三角形，
，
即，
解得：，（不符合题意的已舍）
；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为
(2)的面积的最大值为，此时
(3)存在点或，使
（1）把把代入求出即可得到抛物线解析式，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式；
（2）过作轴交于，设，则，，再根据得到，利用二次函数的性质即可得到的面积的最大值为；
（3）先求出，，，过作轴于，得到，即可得到将抛物线沿射线平移得到新抛物线，即向上平移个单位长度再向右平移个单位长度得到新抛物线，求出新抛物线的解析式，再以为直角边构造等腰直角三角形和，再根据一线三等角构造全等三角形求出，，最后根据，，得到点H为和与新抛物线的对称轴交点，据此求解即可．
（1）解：把代入得，，解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线与轴交点，
∵在上，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的面积的最大，最大值为，此时；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点，
∵抛物线的对称轴与轴交于点，
∴，
∴将点D向左平移1个单位长度得到点，
取两点，，使，，在上，即和为等腰直角三角形，过作轴于，过作轴，过作轴于，过作轴于，
∵，
∴，
∴，，
∴将抛物线沿射线平移得到新抛物线，即向上平移个单位长度再向右平移个单位长度得到新抛物线，其中，
∴新抛物线解析式为，
∵经过点，
∴，
解得或（舍去），
∴新抛物线解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线，
同理由，可得直线的解析式为，
联立，解得，，
∴射线与新抛物线交于点，
∵，轴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，即为中点，
∴，
同理由，可得直线的解析式为，
，可得直线的解析式为，
∵和为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴点H为和与新抛物线的对称轴交点，
当为与新抛物线的对称轴交点时，此时，，此时；
当为与新抛物线的对称轴交点时，此时，，此时；
综上所述，在新抛物线的对称轴上存在点或，使．
10．(1)
(2)最小值为
(3)存在，点Q的横坐标为或．
（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案；
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为；
（3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可．
（1）解：对于，令．
∴．
∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．
由根与系数关系可得：，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．
过点E作交y轴于点F．
根据题意，为等腰直角三角形．
故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：．
∴点G坐标为．
∵，，
．
∴．
当时，点M坐标为，面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，
当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上．
作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为．
∴．
∵，
∴四边形在平移时始终为平行四边形，．
∴．
对于，，．
∴．
∴的最小值为．
故面积最大时，的最小值为2．
（3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图，
根据平移性质可得．
由（2）知．
，则．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位，
∴直线的解析式为．
如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限：
①点是和新抛物线y′的交点，满足．
结合直线和新抛物线的解析式：．
解得或，
由于在第三象限，所以的横坐标为．
②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点．
这样根据轴对称的性质，．
设交于点R．
∵，
∴．，
∵，即，
把，，代入比例式解得：
．
在中， ．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得：
，解得．
∴直线的解析式为：y．
结合抛物线可得： ，解得或．
由于点在第四象限，所以的横坐标为：．
综合①②可得，点Q的横坐标为或．
此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键．
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