面积问题(二次函数综合) 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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面积问题(二次函数综合) 归纳练
2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标．
2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M．
(1)求经过A、C两点的直线解析式；
(2)求抛物线的解析式和对称轴；
(3)若点P是抛物线上的点且在直线的下方，使的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求y的最大值与最小值的差；
(3)D为直线上方抛物线上一动点，连接，，，，设的面积为，的面积为，求的最大值，并求出点D的坐标．
4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线的解析式；
(2)点P是上方抛物线上一点，当时，求出点P的坐标（不与点A重合）；
(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使是等腰三角形，请直接写出此时点的坐标．
5．定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形．
(1)直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______．
(2)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积；
(3)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值．
6．如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C．
(1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标．
(2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值．
(3)若．
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图①，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
(3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当时，求点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值；
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，
①求点的坐标；
②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
10．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)连接 ，当时，求t的值；
(3)设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S，
①求S关于t的函数解析式；
②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况．
参考答案
1．(1)
(2)存在，
(3)
（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可；
（2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可；
（3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求解即可．
（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，代入和可得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴与交于点，
∴把代入可得：，
∴，
∴，
过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示：
设点G的坐标为，则，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）由（2）知，，又，
∴，
设点关于直线的对称点为，如图所示，
则，，
∵，
∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴，
由抛物线的对称性可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键．
2．(1)
(2)，抛物线的对称轴是
(3)在直线下方的抛物线上存在点，使面积最大，
此题主要考查二次函数的图像和性质，求二次函数的解析式，二次函数最值，求一次函数解析，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出直线的解析式即可．
（2）由抛物线与轴的交点坐标可设两点式，再代入点即可求出解析式；
（3）设点的横坐标为，此时点，过点作轴的平行线，交于点，得出点的坐标为，求出，根据，得出，根据二次函数的最值，求出结果即可．
（1）解：设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为，
把点代入上式得：，
解得：，
，
∴抛物线的对称轴是直线．
（3）解：在直线下方的抛物线上存在点，使的面积最大．
设点的横坐标为，此时点，过点作轴的平行线，交于点，如图所示：
∴点的坐标为，
，
，
∵当时，面积的最大值为．
由，得．
．
3．(1)抛物线的表达式为
(2)y的最大值与最小值的差为4
(3)的最大值为，点D的坐标为
本题主要考查了二次函数的图象和性质，求一次函数解析式等知识点，
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当时，取得最大值为4，当时，取得最小值为0，即可求解；
（3）由，即可求解；
熟练掌握二次函数的图象和性质是解决此题的关键．
（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴，
∴，
∴令得，，
∴，
∵抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为，
，解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵，
∴其对称轴为直线，
∴当时，当时，取得最大值为4，当时，取得最小值为0，
∴的最大值与最小值的差为；
（3）解：由（1）知，直线的表达式为：，
如图，过点作轴交于点，
设点，则点，
∴
，
∴的最大值为，此时，点．
4．(1)，，直线的解析式，
(2)
(3)或或或，
（1）分别令和，即可求点、、的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）先求出的面积，可求的面积为3，从而可以求出的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上点M坐标为，根据坐标系中两点距离公式结合等腰三角形的定义列方程求解即可．
（1）解：令，得：
，
解得：，，
，，
令，得：
，
，
点、、的坐标分别为：、、．
设直线的解析式为，可得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
（2），
，
过点作轴，交于点，设点的横坐标为，则有，，
∴
∵
，
，，
当时，，此时与点重合，
当时，，
点的坐标为：．
（3）∵抛物线，
∴抛物线对称轴为直线，
设在抛物线的对称轴上点M坐标为，
∵、．
∴，
，
，
当时，，解得：，即点M坐标为或，
当点M坐标为时，，，，不能构成三角形，故M 舍去；
当时，，解得：，即点M坐标为或，
当时，，解得：，即点M坐标为，
综上所述：点M坐标为或或或，
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、勾股定理、三角形的面积等知识，解题（3）的关键是根据点距离公式结合等腰三角形的定义列方程求解．
5．(1)
(2)27
(3)
对于（1），根据衍生抛物线的定义解答即可；
对于（2），先设点P的坐标为，再将点的坐标代入二次函数关系式，求出a，即可得出衍生抛物线的关系式，然后根据顶点坐标和交点坐标得出答案；
对于（3），先表示出衍生抛物线的关系式，即可得出顶点坐标，再根据，结合直角三角形的三边关系得出方程，再求出解即可．
（1）解：∵抛物线的对称轴是
∴衍生抛物线的对称轴是，
∴衍生抛物线的关系式为．
故答案为：；
（2）解：设点，根据题意，得
，
解得.
∵，
∴．
∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，则交点坐标为．
∵两个抛物线的顶点坐标为，
∴伴随三角形的面积；
（3）解：由（2），知，
抛物线关于的衍生抛物线的关系式为．
当时，，交点坐标为．
∴顶点坐标为．
∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点，
∴当时，是直角三角形，
∴，
即，
解得或（舍去）．
所以．
本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数与几何图形，直角三角形的性质，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
6．(1)
(2)，
(3)①；②点P的坐标为或或或
（1）由题意可得抛物线的解析式为，求出当时的的值即可得解；
（2）由抛物线解析式得出，将代入得出，即可得解；
（3）①由题意可得抛物线的对称轴为直线，求出，再将、代入抛物线解析式计算即可得解；②由①可得：，，，根据并结合题意得出或，分别求解即可．
（1）解：当，时，抛物线的解析式为，
当时，，此时该抛物线与y轴的交点坐标为；
（2）解：∵A为顶点的抛物线，
∴，
将代入得：，
即，
∵k与m满足一次函数，
∴，；
（3）解：①∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
在中，当时，，即，
将、代入抛物线解析式可得：，
解得：或，
当时，，故不符合题意，舍去；
当时，，
∴抛物线的解析式为；
②由①可得：，，，
∵，，
∴，
∴，
∵点P在直线下方的抛物线上，
∴或，
当时，，解得：或，此时或；
当时，，解得：或，此时或；
综上所述，点P的坐标为或或或．
本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
7．(1)
(2)或
(3)或或或．
（1）由于二次函数的图象与轴交于、两点，把，两点坐标代入，计算出和b的值即可求出抛物线解析式；
（2）由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得解方程可得出答案；
（3）设交抛物线的对称轴于点，设直线的解析式为，由，求出的坐标，再由建立方程可求出的值．则可得出答案．
（1）解：将，代入，得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：如图，图，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得．
∵抛物线的对称轴为：，而，，则，
设，
，
∴，
由两点间的距离可得：．
解得．
满足条件的点的坐标为或；
（3）解：如图3，设交抛物线的对称轴于点，
设，则，
，
．
设直线的解析式为，则．
解得，
∴解析式为，
当时，，
，
，
．
．
．
，
，
或
解得或或
当时，，
当时，．
当时，，
当当时，，
综合以上可得，满足条件的点的坐标为或或或．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)①；②存在，或或或
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，过点作轴交于，设，则，求出，再根据并结合二次函数的性质求解即可；
（3）①由平移的性质得出平移后的抛物线的解析式为，联立得出，求解即可；②设，，再分三种情况：当为边，点在点的上方时；当为边，点在点的上下方时；当为对角线时；分别利用菱形的性质求解即可．
（1）解：∵抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，为；
（3）解：①∵，
∴将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线为，
令，
解得，
∴；
②存在；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴设，，
∵以点，，，为顶点的四边形为菱形，
∴当为边，点在点的上方时，
，
解得：，
此时；
当为边，点在点的上下方时，
，
解得：或，
此时或；
当为对角线时，
，
解得：，
此时；
综上所述，点的坐标为或或或．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数的平移、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊的四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
9．(1)
(2)
(3)①；②
（1）运用待定系数即可求解；
（2）先求出直线的表达式为，则，，那么，而，代入面积公式即可；
（3）①设，则，，由四边形是平行四边形，得点与点的水平距离等于与点的水平距离，点与点的铅锤距离等于与点的铅锤距离，，解得，此时，，则，即，解得，即可求解H坐标；
②，而，故，当C，P，B三点共线时周长取得最小值，最小值为．
（1）解：将，代入中
得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
则代入点，得：，
解得：，
直线的表达式为，
∵，
∴当，
解得：，
，
当，，
∴，
，
而，
；
（3）解：①设，则，，
如图：
∵四边形是平行四边形，
∴点与点的水平距离等于与点的水平距离，
，
解得，
此时，
∵四边形是平行四边形，
∴点与点的铅锤距离等于与点的铅锤距离，
∴，
即，
解得，
点的坐标为
②∵点的坐标为，，如图：
∴，
∵，，
∴，
∵直线交轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C，P，B三点共线时周长取得最小值，最小值为．
本题考查了二次函数与四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，三角形的三边关系求最值，两点之间距离公式，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)①S关于t的函数解析式为②当时，存在3个符合条件的点P；当时，存在2个符合条件的点P；当时，存在1个符合条件的点P．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求；
（3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，
过点P作于点E，利用解答即可；
②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可．
（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．如图，
∴点P的纵坐标为4，
∴，
∴或，
∴，
∴．
（3）解：①令，则，
∴或，
∴，
∴．
当点P在的上方时，
即，，
过点P作于点D，如图，
则，，
∴，
∴
．
当点P在的下方时，
即，，
过点P作于点E，如图，
则，
∴
．
综上，S关于t的函数解析式为；
②当时，
，
∵，
∴当时，S有最大值为16，
∴．
当时，，
∴．
画出函数的大致图象，如图：
由图象可知：
当时，存在3个符合条件的点P；
当时，存在2个符合条件的点P；
当时，存在1个符合条件的点P．
本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，一次函数与三角形面积综合，分类讨论，是解题和关键．
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