(共16张PPT)
数学探究 用向量法研究三角形的性质
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@PA级 基础巩固
1.若O为△ABC内一点,||=||=||,则O 是△ABC 的 ( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
解析:由向量模的定义知O到△ABC的三顶点的距离相等.故O 是△ABC 的外心,故选B.
答案:B
2.已知M是△ABC所在平面内的任意一点,且++=3,则N是△ABC的 ( )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
解析:因为++=3,所以(-)+(-)+(-)=0,即++=0.所以N是△ABC的重心.
答案:C
3.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的 ( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析:由·=·,得·-·=0,·(-)=0,即·=0,
则PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心.
答案:D
4.如图所示,在△ABC中,点O是外接圆的圆心,AB=4,AC=3,则·=-.
解析:设M是边BC的中点,连接OM(图略).由于点O是△ABC的外心,则OM⊥BC.所以·=(+)·=·=(+)·(-)=(-)=-.
B级 能力提升
5.O为平面上一定点,A,B,C是平面上的不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心
解析:如图所示,设D为BC的中点,由向量的加法法则可得+=2.依题意知=2λ.因为λ∈[0,+∞),所以P,A,D三点共线.又AD为△ABC的中线,故点P的轨迹一定通过△ABC的重心,故选C.
答案:C
6.若非零向量与满足+·=0,且·=, 则△ABC为 ( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
解析:因为非零向量与满足（+）·=0,即A的平分线垂直于BC,所以 AB=AC.
因为cos A=·=,所以A=,所以△ABC为等边三角形.
答案:D
C级 挑战创新
7.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ+,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析: 因为是向量的单位向量.设与方向上的单位向量分别为e1和e2,且-=,则原式可化为=λ(e1+e2),由菱形的基本性质知AP平分∠BAC,那么在△ABC 中,AP平分∠BAC,则知选B.
答案:B
