(共19张PPT)
第六章 平面向量及其应用
-1
答案:CD
答案:-2e
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
B
c
a
C
bA级 基础巩固
1.多选题下列说法中不正确的有 ( )
A.若a≠0,则对任意b≠0,有a·b≠0
B.若a·b=0,则a,b中至少有一个为0
C.|a·b|表示向量a·b的长度
D.若a,b都是非零向量,且|a+b|=|a-b|,则a⊥b
解析:选项A,B都是不正确的,不但零向量与任意向量的数量积为0,互相垂直的两个非零向量的数量积也为0.因为a·b是数量,|a·b|表示其绝对值,选项C不正确.选项D是正确的.
答案:ABC
2.(2023·全国乙卷,文)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= ( )
A.
B.3
C.2
D.5
解析:正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,所以·=-1,⊥,⊥,·=2×2=4,则·=(+)·(+)=·+·+·+·=-1+0+0+4=3.
答案:B
3.(2024·广东佛山模拟)对于任意非零向量a,b,c,若a,b在c上的投影向量互为相反向量,下列结论一定成立的是( )
A.(a-b)∥c
B.(a+b)∥c
C.(a-b)⊥c
D.(a+b)⊥c
解析:a在c上的投影向量为,b在c上的投影向量为,因为a,b在c上的投影向量互为相反向量,所以+=0,即(a+b )·c=0,即(a+b)⊥c.
答案:D
4.若e1,e2是单位向量,且e1·e2=-,则e1与e2的夹角等于120°.
解析:设e1,e2的夹角为θ.由已知得|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=1×1×cos θ=-,因此θ=120°.
5.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知 ||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
解:(1)因为与共线且同向,所以·=3×3×cos 0°=9.
(2)因为与共线且反向,所以·=4×4×cos 180°=-16.
(3)因为与的夹角为120°,所以·=4×3×cos 120°=-6.
B级 能力提升
6.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于 ( )
A.8
B.-8
C.8或-8
D.6
解析:因为a·b=|a||b|cos θ=2×5×cos θ=-6,所以cos θ=-.因为θ∈[0,π],所以sin θ=,所以|a×b|=|a||b|sin θ=2×5×=8.
答案:A
7.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且·=,则该三角形的面积等于.
解析:设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为a,于是·=a·a·=a2=,从而a=,于是S△ABC=××=.
8.已知|a|=6,e为单位向量,当它们之间的夹角θ分别等于60°、90°、120°时,求出a在e方向上的投影向量.
解:a在e方向上的投影向量为|a|cos θe.
当θ=60°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos 60°e=3e;
当θ=90°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos 90°e=0;
当θ=120°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos 120°·e=-3e.
C级 挑战创新
9.多选题已知a,b都是单位向量,则下列结论中一定正确的是 ( )
A.a·b=1
B.a2=b2
C.a∥b a=b或a=-b
D.a·b=0
解析:单位向量是指模为1的向量,对方向没有要求,因此夹角也是未知的,故选项A,D不一定正确,易知选项B,C正确.
答案:BC
10.(2024·广东广州期末)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a-b在b方向上的投影向量为( )
A.-a
B.-b
C.a
D.b
解析:因为|a+b|=|a-b|,所以a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,可得a·b =0,所以a-b在b方向上的投影向量为·=·b=-b.
答案:B
