(共15张PPT)
第六章 平面向量及其应用
答案:B
11
120°
答案：
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@PA级 基础巩固
1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.12
解析:因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以|a|2-a·b-6|b|2=-72.因为a·b=|a|×4cos 60°=2|a|,所以|a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6.
答案:C
2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=( )
A. B. C. D.4
解析:因为|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6a·b=1+9+6|a||b|cos 60°=13,所以|a+3b|=.
答案:C
3.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为 ( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
解析:因为c与d垂直,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,又a·b=0,所以2k=12,所以k=6.
答案:B
4.多选题对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的是 ( )
A.|a·b|≥|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
解析:根据a·b=|a||b|cos θ,且cos θ ≤1,知|a·b|≤|a||b|,选项A不成立;当向量a和b方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,选项B不成立;根据|a+b|2=a2+2a·b+b2=(a+b)2,选项C恒成立;根据向量的运算性质得(a+b)·(a-b)=a2-b2,选项D恒成立.
答案:CD
5.在△ABC中,若||=3,||=8,∠ABC=60°,则||=7.
解析:因为=-,所以||2=(-)2=||2+||2-2·=82+32-2×8×3×cos 60°=49,所以||=7.
6.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
解:(1)因为(a-b)·(a+b)=a2-b2=,|a|=1,
所以b2=a2-=1-=,所以|b|=.
所以cos θ===.
因为θ∈[0,π],所以θ=,故a与b的夹角为.
(2)|a+b|===.
B级 能力提升
7.(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=-.
解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+c·a=-.
8.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b的方向上的投影为-1.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直
解:(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.
因为a在b方向上的投影为|a|cos θ=-1,
所以a·b=|a||b|cos θ=-1,所以cos θ=-.
因为θ∈[0,π],所以θ=.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)因为λa+b与a-3b互相垂直,
所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=.
C级 挑战创新
9.如图所示,在 ABCD中,若AB=1,AD=2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则·+·= ( )
-
D.-
解析:易知四边形EFGH为平行四边形,如图所示,连接HF,取HF的中点O,连接OE,
则·=·=(-)·(+)=-=1-（）2=,
·=·=(+)·(-)=-=1-（）2=,
因此·+·=.
答案:A
10.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则++…+的取值范围是[12+2,16].
解析:如图,连接OP,OA2,OA6,根据题意及向量加法的平行四边形法则可得+=(-)2+(-)2,易知与反向共线,所以+=[(2)2+(2)2]=2+2,
同理得,+=[(2)2+(2)2]=2+2,+=[(2)2+(2)2]=2+2,
+=[(2)2+(2)2]=2+2,
所以++…+=8+8,
在△OA1A2中,易知1·cos ≤||≤1,
所以12+2≤8+8≤16,所以++…+的取值范围为[12+2,16].
