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第六章 平面向量及其应用
答案:(2,4) 0
【解题模型示范】
○
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读
已知三点坐标，(1)证明线线垂直，(2)要使四边形为矩
形，求点C的坐标及对角线夹角的余弦值，
想
向量垂直的坐标表示，夹角公式.
(1)因为点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),所以AB=
(1,1),AD=(-3,3),所以AB·AD=1×(-3)十
1×3=0,所以AB⊥AD,即AB⊥AD.
(2)因为AB⊥AD,四边形ABCD为矩形，
所以AB=DC,设点C的坐标为(x,y),
则由AB=(1,1),知DC=(x+1,y-4),
x+1=1,
算
得g41
(x=0,
解得
=5,所以点C的坐标为(0,5)，
所以AC=(-2,4),BD=(-4,2),
所以AC·BD=8+8=16,且|AC|=25,|BD=
2√5.设AC与BD的夹角为0，
AC.BD
164
则c0s0=
ACBD
20
5
所以矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值
为
5
方法规律：利用向量的数量积求两向量夹角的步骤，
(1)求数量积：利用平面向量数量积的坐标表示公式求出
这两个向量的数量积.
(2)求模：利用a=√/x2+y2计算出这两个向量的模
思
x1x2-y1y2
3)求余弦值：由公式cos0=
√x十y·√/x+y2
直接求出cos0的值.
(4)求角：在0≤0≤π内，由cos0的值求角.A级 基础巩固
1.(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析:因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x-4),又b⊥(b-4a),所以2×2+x(x-4)=(x-2)2=0,解得x=2.
答案:D
2.在平面直角坐标系Oxy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·= ( )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析:由四边形ABCD为平行四边形,知=+=(3,-1),故·=(2,1)·(3,-1)=5.
答案:A
3.若正方形OABC两边AB,BC的中点分别为点D和E,则∠DOE的余弦值为 ( )
A.
B.
C.
D.
解析:以点O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形OABC的边长为1,则D（1,）,E（,1）,于是cos∠DOE==.
答案:D
4.(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),
则 ( )
λ+μ=1
B.λ+μ=-1
C.λμ=1
D.λμ=-1
解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(λ+1,1-λ),a+μb=(μ+1,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb),得(λ+1)(μ+1)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得2λμ+2=0,即λμ=-1.
答案:D
5.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解:(1)设c=(x,y),因为|c|=2,
所以=2,所以x2+y2=20.
由c∥a,得1×y-2×x=0,
所以解得或
故c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,
所以2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,
所以cos θ==-1.
因为θ∈[0,π],所以θ=π.
B级 能力提升
6.(2024·广东模拟)在△ABC中,⊥,且||=||=,M是BC的中点,O是线段AM的中点,则·(+)的值为 ( )
A.0
-
C.-
D.-
解析:如图,以A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),C(0,).因为M是BC的中点,所以M,.因为O是线段AM的中点,所以O,.所以=,-,=-,,=-,-.所以+=,.所以·(+)=-×+-×=-.
答案:C
7.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),若c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=2.
解析:由a=(1,2),b=(4,2),得c=ma+b=(m+4,2m+2).
因为|a|=,|b|=2,a·c=5m+8,b·c=8m+20,
且c与a的夹角等于c与b的夹角,
所以=,
即=,解得m=2.
8.设向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=-,,且a与b不共线.
(1)求证:(a+b)⊥(a-b);
(2)若向量a+b与a-b的模相等,求α.
(1)证明:由题意可得a+b=(cos α-,sin α+),
a-b=(cos α+,sin α-),
所以(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
(2)解:因为向量a+b与a-b的模相等,
所以(a+b)2=(a-b)2,
所以a2-b2+2a·b=0.
因为|a|==1,|b|==1,所以1-1+2a·b=0,解得a·b=0,
所以-cos α+sin α=0,
所以tan α=.
因为0≤α<2π,
所以α=或.
C级 挑战创新
9.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若a与c的夹角等于b与c的夹角,则t= ( )
A.-6
B.-5
C.5
D.6
解析:由题意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为a与c的夹角等于b与c的夹角,所以这两个夹角的余弦值相等,即=,即=3+t,解得t=5,故选C.
答案:C
10.多选题(2021·新高考全国 Ⅰ 卷)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
解析:A选项,因为||==1,||==1,所以||=||,A选项正确.B选项,易知||==,||==,由于α,β的大小关系不确定,所以不能确定||=||成立,B选项不正确.C选项,因为·=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),·=(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),所以·=·,C项正确.D选项,因为·=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α,·=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos βcos(α+β)-sin βsin(α+β)=cos(β+α+β)=cos(α+2β),由于β的大小不确定,所以·=·不一定成立.D选项不正确.故选AC.
答案:AC
