A级 基础巩固
1.(2023·惠州月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=60°,a=,则△ABC外接圆半径等于 ( )
A.2
D.1
解析:设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得,=2R,即=2R,所以R=1.
答案:D
2.(2024·广东江门模拟)在△ABC中,B=30°,b=2,c=2,则角A的大小为 ( )
A.45°
B.135°或45°
C.15°
D.105°或15°
解析:因为B=30°,b=2,c=2,所以由正弦定理得sin C===.因为c>b,所以C>B,故C=45°或135°,可得A=180°-B-C=105°或15°.
答案:D
3.在△ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为 ( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析:因为3b=2asin B,cos B=cos C,所以3sin B=2sin Asin B.因为sin B>0,所以sin A=,由A为三角形的内角得A=60°.因为cos B=cos C,所以B=C,故A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.
答案:C
4.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则角B的大小是.
解析:设sin A=5k,sin B=7k,sin C=8k,===m,所以a=5km,b=7km,c=8km,
所以由余弦定理,得cos B=,所以B=.
5.(2022·新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
解:(1)由S1-S2+S3=,得(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B,所以accos B=1.
由sin B=,得cos B=或cos B=-(舍去),所以ac==,
则△ABC的面积S=acsin B=××=.
(2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知===,即b2=×=,得b=.
B级 能力提升
6.( 2024·广东模拟)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,c=2,S△ABC=,则的值为.
解析:因为B=,c=2,S△ABC=,即a×2×=,所以a=2,故△ABC为等边三角形,则===.
7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为-.
解析:由2sin B=3sin C及正弦定理,得2b=3c,即b=c.因为b-c=a,所以c=a,即a=2c.
由余弦定理,得
cos A====-.
8.(2022·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
解:(1)因为=,
所以=,
所以=,
所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,
所以cos(A+B)=sin B,
所以sin B=-cos C=-cos =,
因为B∈（0,）,所以B=.
(2)由(1)得cos(A+B)=sin B,
所以sin[-(A+B)]=sin B,且0
所以0所以-(A+B)=B,解得A=-2B,
由正弦定理得=
=
=
=
=
=
=4cos2B+-5≥2-5
=4-5,当且仅当cos2B=时取等号,
所以的最小值为4-5.
C级 挑战创新
9.多选题在△ABC中,下列关系中一定成立的是 ( )
A.a>bsin A
B.asin B=bsin A
C.aD.a≥bsin A
解析:由正弦定理=,得asin B=bsin A,所以B正确.在△ABC中,0故asin B≤a,所以a≥bsin A,故D也正确.
答案:BD
10.有一道解三角形的题目,因纸张破损有一个条件模糊不清,具体如下:“在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 a=,B=,b=或c=,求角A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A=,试在横线上将条件补充完整.
解析:分两种情况:(1)若破损处的条件为边b的长度,则由=,得b===;(2)若破损处的条件为边c的长度,由A+B+C=π,B=,A=,知C=,再运用正弦定理,得c=.(共15张PPT)
第六章 平面向量及其应用
所对角的正弦
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
图示
b
B
a
C
正弦定理
斋膏
在一个三角形中，各边和它
所对角的正弦
的比相等
簪冒
a
b
c
sin A
sin B
sin C