A级 基础巩固
1.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC ( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角三角形或直角三角形
解析:由>0,得-cos C>0,
所以cos C<0,
所以C为钝角,即△ABC一定是钝角三角形.
答案:C
2.△ABC的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C等于 ( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
整理,得b2+a2-c2=ab,
所以cos C===,解得C=.
答案:B
3.(2024·广东模拟)已知在△ABC中,AB=2,AC=1,cos A=,则BC= ( )
A.1
D.
解析:由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A=4+1-2×2×1×=,所以BC=.
答案:D
4.已知△ABC的两边长a,b是方程x2-2x+2=0的两个实数根,且有2 cos(A+B)=1,则第三边长c等于.
解析:易知cos C=-cos(A+B)=-,
所以C=120°.
因为a,b是方程x2-2x+2=0的两个实数根,
所以
所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,
即c=.
5.在△ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.
解:因为sin C=,且0所以C=或.
当C=时,cos C=,
此时,c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.
当C=时,cos C=-,
此时,c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=2.
B级 能力提升
6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且bA.3
B.2
C.2
D.
解析:由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b,解得b=2或4.因为b答案:C
7.如图所示,△ABC的内切圆O切边AC于点E,且AE=1,EC=3.若2B=A+C,则AB的长等于-1.
解析:由于2B=A+C,所以B=.
根据切线长定理可知AF=AE=1,EC=DC=3.
设BF=BD=x,则由余弦定理,得
cos ==,
解得x=-2,所以AB=AF+BF=1+-2=-1.
8.在△ABC中,AB=2,AC=,BC=1+,若AD为边BC上的高,则AD的长是.
解析:因为cos C==,
所以sin C=,所以AD=ACsin C=.
9.(2023·全国乙卷,理)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin ∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
解:(1)在△ABC中,由余弦定理可知BC2=22+12-2×1×2×cos 120°=7,所以BC=.
所以由余弦定理可得cos∠ABC==.
又∠ABC∈(0°,60°),
所以sin∠ABC===.
(2)由(1)知cos∠ABC=,sin∠ABC=,
所以tan∠ABC=.因为=tan∠ABC,所以AD=,
所以AD=.因为∠DAC=120°-90°=30°,
所以△ADC的面积为×AD×AC×sin∠DAC=××1×=.
C级 挑战创新
10.(2022·全国甲卷,理)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=-1.
解析:设BD=k(k>0),则CD=2k.
根据题意作出大致图形,如图.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ∠ADB=22+k2-2×2k×-=k2+2k+4.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k×=4k2-4k+4,则===4-=4-=4-,因为k+1+≥2(当且仅当k+1=,即k=-1时等号成立),所以≥4-=4-2=(-1)2,所以当取得最小值-1时,BD=k=-1.(共17张PPT)
第六章 平面向量及其应用
a
b
c
解三角形
【解题模型示范】
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
读
已知△ABC中边、角满足的关系式，判断三角形的形状.
想
利用余弦定理求出边之间的关系.
b2十c2-a
由余弦定理，知c0sA=
cos B
2bc
c2十a2-b2
C=
a2+b2-c2
cos
2ca
2ab
代入已知条件，得
算
b2+c2-a2
c2十a2-b2c2-a2-b2
a
+6
=0
2bc
2ca
2ab
去分母，得a2(b2+c2一a2)+b2(a2十c2-b2)十
c2(c2-a2-b2)=0,
展开整理，得(a2一b2)2=c4.
所以a2-b2=士c2,即a2=b2+c2或b2=a2十c2.
所以△ABC为直角三角形
方法规律：利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化为边的关系：将条件中角的关系，利用余弦定理化
思
为边的关系，再变形已知条件判断：
2)化为角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通
过三角变换得出关系进行判断：
