A级 基础巩固
1.在△ABC中,设=c,=a,=b,若c·(c+a-b)<0,则△ABC是 ( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定其形状
解析:由已知,得·(+-)=·2<0,所以A为钝角.所以△ABC为钝角三角形.
答案:C
2.在△ABC中,若(++)=,则点G是△ABC的 ( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
解析:因为(++)=,所以-+-+-=3,化简得++=0,故点G为△ABC的重心.
答案:D
3.已知△ABC的重心是点G,CA的中点为点M,且A,M,G三点的坐标分别是(6,6),(7,4),,,则||为 ( )
A.4
B.
C.
D.2
解析:设B(x1,y1),C(x2,y2),
由条件可知即所以C(8,2).
因为所以所以B(2,0),
所以||=|BC|===2.
答案:D
4.在四边形ABCD中,=(12,2),=(x,y),=(-4,-6).若∥,且⊥,则四边形ABCD的面积为 ( )
A.16
B.64
C.32
D.128
解析:=++=(x+8,y-4),=+=(x+12,y+2),=+=(x-4,y-6).
因为∥,且⊥,=-,
所以
解得或
所以||=16,||=8或||=8,||=16,
所以S四边形ABCD=||·||=64.故选B.
答案:B
5.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解:设=a,=b,则=a-b,=a+b.
因为||=|a-b|====2,
所以5-2a·b=4,所以a·b=.
因为||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,
所以||=,即AC=.
B级 能力提升
6.在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是 ( )
A.
B.
C.
D.
解析:由++=,得+++=0,即=2,所以点P是CA边上的三等分点(靠近点A),如图所示.
故==.
答案:C
7.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则= ( )
A.2
B.4
C.5
D.10
解析:将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,
则
=
=
=
=-6=42-6=10.
答案:D
8.△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明:如图所示,建立直角坐标系,
设A(2,0),C(0,2),则D(0,1),
所以=(-2,1),=(-2,2).
设F(x,y),则=(x,y),由⊥,
得·=0,即-2x+y=0, ①
因为点F在AC上,则∥.
因为=(-x,2-y),
所以2×(-x)-(-2)×(2-y)=0,
即x+y=2. ②
由①②联立得x=,y=,
所以F,,=,.
因为=(0,1),所以·=.
因为·=||||cos∠FDC=cos ∠FDC,
所以cos∠FDC=.
因为cos∠ADB===,
所以cos∠ADB=cos∠FDC,故∠ADB=∠FDC.
C级 挑战创新
9. 如图,若四边形ABCD为平行四边形,EF∥AB,AE与BF相交于点N,DE与CF相交于点M.求证:MN∥AD.
证明:因为EF∥AB,所以△NEF∽△NAB.设=μ(μ≠1),则=μ,所以=(μ-1).同理,由EF∥CD,可得=(μ-1).所以=-=-=(μ-1)(-)=(μ-1).因为μ≠1,所以MN∥AD.(共21张PPT)
第六章 平面向量及其应用
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
读
已知直角三角形，AC=m,BC=n,向量方法求解
想
建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用共线向量
定理和向量模的坐标公式求解
(1)如图所示，以C为坐标原点，分别以边CB,CA所
在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则
点A(0,m),B(n,0).
c(o)
F
B
x
因为D为AB的巾点，所以D(台，空)，
yCnG2m2牛m，AB=√m十
1
1
所以|CD=
IAB,即CD
AB
②因为E为CD的中点，所以点E( ,）】
设点，0则A-（一m）a-(，-m.
因为A,E,F三点共线，
所以=AA正，即(x,一m)=A(冬，-子m）
算
TA,
4
「A=
所以
解得
3
m=一
mi,
所以F(行0小A正=（行，-m
即AF的长度为3√n+9m.
1思想方法：数形结合
2规律方法：用向量法求长度的两种方法
思
方法一：利用图形特点选择基底，将向量用基底表示，用
公式a2=a2求解.
方法二：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入
公式，即若a=(x,y),则a=√Jx十y
