A级 基础巩固
1.复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是 ( )
A.sin 30°+icos 30°
B.cos 160°+isin 160°
C.cos 30°+isin 30°
D.sin 160°+icos 160°
解析:(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=(cos 80°+isin 80°)(cos 80°+isin 80°)=cos 160°+isin 160°.
答案:B
2.计算(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=+i.
解析:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=cos 30°+isin 30°=+i.
3.将复数1+i对应的向量顺时针旋转45°,则所得向量对应的复数为.
解析:1+i=(cos 45° +isin 45°),由题意知,所求复数为(1+i)[cos(-45°)+isin(-45°)]=
(cos 45°+isin 45°)·[cos(-45°)+isin(-45°)]=(cos 0°+isin 0°)=.
4.在复平面内,将复数+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°,则所得向量对应的复数为-1+i.
解析:由题意知,所求复数为(+i)×(cos 90°+isin 90°)=2(cos 30° +isin 30°)×(cos 90°+isin 90°)=2(cos 120°+isin 120°)=-1+i.
B级 能力提升
5.向量,分别对应非零复数z1,z2,若⊥,则是 ( )
A.负实数
B.纯虚数
C.正实数
D.虚数a+bi(a,b∈R,a≠0)
解析:已知z1,z2为非零复数,设复数z1= r1(cos θ1+isin θ1),z2= r2(cos θ2+isin θ2),由于⊥,所以==[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]=[cos(±90°)+isin(±90°)]=±i,即为纯虚数.
答案:B
6.已知复数-3+4i的辐角主值为α,复数3-4i的辐角主值为β,则α-β=-π.
解析:由题意知α-β是的三角形式的辐角.因为=-=-1,又由题意知<α<π,<β<2π,所以-<α-β<-,所以α-β=-π.
7.已知等边三角形ABC的两个顶点A,B所表示的复数分别是+i和2,求另一个顶点C所表示的复数.
解:由题意可知,A,B所表示的复数分别是+i和2,所表示的复数为-i,点C的位置有两个,分别计算如下:
①把按逆时针方向旋转60°得到,对应的复数为(-i)(cos 60°+isin 60°)=+i,
=+=+i++i=2+i,即点C对应的复数是2+i;
②将按顺时针方向旋转60°得到,对应的复数为(-i)[cos(-60°)+isin(-60°)]=-i,
=+=+i-i =-i,即点C'对应的复数是-i.
综上所述,另一个顶点C所表示的复数为2+i或-i.
8.设点A,B分别对应非零复数z1,z2,且 +z1z2+=0,试判断△AOB的形状.
解:因为z2≠0,由条件得()2+()+1=0,
解得=-±i=cos(±)+isin(±),
所以∠AOB=π.
因为||=1,所以|z1|=|z2|.
综上可知,△AOB是顶角为的等腰三角形.
C级 挑战创新
9.多空题将复数z1=3+i对应的向量按逆时针方向旋转π所得到的向量对应的复数为2(cos+isin),该复数除以复数+i后所得到的复数为2i.
解析:z1=3+i=2(cos+isin).由题意知2·(cos+isin)·(cos+isin)=2(cos+isin),即将复数z1=3+i对应的向量按逆时针方向旋转π所得到的向量对应的复数为2(cos+isin).
因为+i=cos+isin,
所以=2(cos+isin)=2i.(共8张PPT)
第七章 复 数
○
21世织纪教痘
2订世看
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不是复数的三角形式
读想
先把不是三角形式的复数化为三角形式，再求解
(√3+i)
元
元
cos
+isin
3
3
元
+icos
元
sin
3
3
算
元
元
2
cos
6
+isin
6
cos
+isin
3
元
元
cos
isin
6
6
2
cos
π3
-ian(+号）门
T
元
cos
+isin
6
元
元
2
cos
2
isin
2
元
元
cos
+isin
6
6
2
=1+√3i.
方法规律：在进行复数三角形式的除法运算时，注意
思
先将各个复数化为三角形式，再按照除法法则进行运
算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用
三角形式表示.
