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第七章 复 数
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21世织纪教痘
2订世看
,27G2@PA级 基础巩固
1.若a<0,则a的三角形式为 ( )
A.a(cos 0+isin 0)
B.a(cos π+isin π)
C.-a(cos π+isin π)
D.-a(cos π-isin π)
解析:因为a<0,所以辐角主值为π,故其三角形式为
-a(cos π+isin π).
答案:C
2.若|z|=2,arg z=,则复数z=1+i.
解析:由题意知,z=2(cos+isin)=1+i.
3.复数cos+isin的辐角主值是.
解析:原式=cos(2π+)+isin(2π+)=cos+isin,故其辐角主值为.
4.复数10cos+isin化为代数形式为-5-5i.
解析:10(cos+isin)=10(--i)=-5-5i.
5.把下列复数表示成代数形式:
(1)4cos+isin;
(2)2cos+isin.
解:(1)4(cos+isin)=4(-i)=2-2i.
(2)2(cos+isin)=2-i)=-i.
B级 能力提升
6.复数z=(a+i)2的辐角主值为,则实数 a=-1.
解析:由于复数z的辐角主值为,
故z=r(cos+isin)=-ri.
因为z=(a+i)2=a2-1+2ai,所以a2-1+2ai=-ri,
所以a2-1=0,2a=-r<0,所以a=-1.
7.将下列复数表示成代数形式:
(1)8cos+isin;
(2)2cos+isin;
(3)cos+isin.
解:(1)8(cos+isin)=8(--i)=-4-4i.
(2)2(cos+isin)=2(-+i)=-+i.
(3)(cos+isin)=+i)=+i.
8.下列复数是不是复数的三角形式 如果不是,把它们表示为三角形式.
(1)sin+icos;
(2)cos-isin;
(3)sin+icos.
解:所给出的三个复数都不是复数的三角形式. 把它们表示为三角形式如下:
(1)(sin+icos)=[sin(-)+icos(-)]=(cos+isin).
(2)cos-isin=cos(-)+isin(-)=cos+isin.
(3)sin+icos=sin(+)+icos(-)=
cos+isin.
C级 挑战创新
9.多空题已知复数z=3+i,则复数z的辐角主值是,三角形式是2(cos+isin).
解析:设复数z的辐角主值为θ,由复数z对应的点的坐标为(3,),知θ在第一象限,则0<θ<,可求得θ=.因为r==2,所以z=2(cos+isin).
