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第八章 立体几何初步
【解题模型示范】
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
P
B
I
I
I
A
5----1
e-
D
B
C
读
三棱台中上、下底面平行的两棱长之比为1：2.
(1)题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的，
想
2)求几何体体积的常用方法有公式法、等积法、补体
法、分割法等」
设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A,B,C,=4S,
1
所以V按AABc=3SAac·h=3S,
4
V三棱锥C-A1B:C,=
S△AB,C
·h=
Sh.
算
1
7
又因为V台AcA,c,=3(S+4S十2S)=
Sh
3
所以V三楼锥BA,B,C=V三棱台ABCA,BC
V三棱锥A-ABC
7
三棱锥CA1B,C1
Sh-
3
%
1
4
2
Sh=
Sh,
3
3
所以三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥CA1BC1
的体积之比为1：2：4.
方法规律：求几何体体积的常用方法.
(1)公式法：直接代入公式求解
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只
思
需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成
棱柱，三棱柱补成四棱柱等
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积：A级 基础巩固
1.若某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为 ( )
A.22
B.20
C.10
D.11
解析:所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.
答案:A
2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是 ( )
D.1
解析:三棱锥D1-ACD的体积V=S△ACD×D1D=××1×1×1=.
答案:A
3.如图,下面几何体是放倒的直四棱柱,高为2,底面是上底为2,下底为4,高为2的梯形,则该四棱柱的体积为 ( )
A.8
B.12
C.16
D.20
解析:因为直四棱柱的高为2,底面是上底为2,下底为4,高为2的梯形,所以体积V=Sh=×(2+4)×2×2=12.故选B.
答案:B
4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为28.
解析:如图所示,根据题意易知△SO1A1∽△SOA,
所以===.又SO1=3,所以SO=6,
所以OO1=3,又上、下底面正方形边长分别为2,4,所以所得棱台的体积为×(4+16+)×3=28.
5.如图所示,某几何体的下半部分为正方体ABCD-A'B'C'D',上半部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体的高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为12.
解析:V正方体=23=8,V四棱锥S-ABCD=×22×(5-2)=4.所以该几何体的体积V=V正方体+V四棱锥S-ABCD=12.
6.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.
解:已知长方体可以看成直四棱柱,设它的底面ADD1A1的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.
而棱锥C-A1DD1的底面积为S,高为h,
故=×Sh=Sh,
余下部分的体积为Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
B级 能力提升
7.(2023·新高考全国 Ⅰ 卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为.
解析:如图,设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面中心分别为M,N,过A1作A1H⊥AC,垂足为点H,由题意易知A1M=HN=,又AN=,所以AH=AN-HN=.又AA1=,所以A1H=MN=,所以该四棱台的体积为×(1+4+)×=.
8.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则=.
解析:如图所示,设点C到平面PAB的距离为h,三角形PAB的面积为S,则V2=Sh,V1=V棱锥E-ADB=×S×h=Sh,所以=.
9.有位油漆工用一把滚筒刷(刷子呈圆柱形,长度为50 cm,横截面半径为10 cm)给一块面积为 10 m2的木板涂油漆,且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进,则油漆工完成任务所需的时间是多少 (精确到0.01 s)
解:由题意可知,圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积,50 cm=0.5 m,10 cm=0.1 m.
因为圆柱的侧面积为S侧=2π×0.1×0.5=0.1π (m2),且圆柱形刷子以每秒5周的速度匀速滚动,
所以圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m2.
所以油漆工完成任务所需的时间t==≈6.37(s).
C级 挑战创新
10.开放性问题现有一个棱长为1的正方体礼品盒,需要买一张正方形彩纸将其完全包住,请你设计一个方案,在不将彩纸撕开的情况下,所买彩纸费用最少(注:彩纸按面积收费).
解:如图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按如图所示的方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知正方形的边长为2,其面积为8.
即买边长为2的正方形彩纸所需费用最少.
①
②
