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第八章 立体几何初步
截面
截面
截面
○
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2订世看
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读
已知圆维的底面半径及两点的位置，
想
利用转化思想，将曲面展开为平面来解决两点间最短距
离问题
圆锥的侧面展开图，如图所示，
算
线段PQ即为所求最短距离
因为Q为半圆弧AC的中点，
所以OQLOA,即Q是扇形弧的本点，
因为扇形弧长即为圆锥底面周长为40π，
又SO=10√5，所以母线SA=30:
从而扇形的LA'SA=Q4.2m=
SA
02m=
0
4T,LASQ
43
在△QSP中，SP=15,由余弦定理得，
PQ=/SP2+SQ2-2SP-RQcos
3
/152+302-2×15×30×9
=15√/5，
1.思想方法：转化思想
2.方法规律：求旋转体表面上两点间的最短路径长、求从
思
旋转体的表面上一点沿旋转体表面运动到另一点所走过的
最短路径长，常常将旋转体沿某条母线剪开，使两点展开
在一个平面上，将问题转化为求平面上两，点间的最短距离
问题，A级 基础巩固
1.以下几何体中符合球的结构特征的是 ( )
A.足球
B.篮球
C.乒乓球
D.铅球
解析:因为球包括球面及球体内部,而足球、篮球、乒乓球都是中空的,可视为球面,铅球是实心的,符合球的结构特征.
答案:D
2.下列几何体是组合体的是 ( )
A
B
C
D
解析:A选项中的几何体是圆锥,B选项中的几何体是圆柱,C选项中的几何体是球,D选项中的几何体是从一个圆台中挖去一个圆锥得到的,是组合体.
答案:D
3.如果一个空间几何体的竖直截面图形如图所示,那么这个空间几何体自上而下可能是 ( )
A.梯形、正方形
B.圆台、正方形
C.圆台、圆柱
D.梯形、圆柱
解析:空间几何体不是平面几何图形,所以应该排除选项A,B,D.
答案:C
4.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为.
解析:设圆柱的底面半径为R,由题意得,圆柱的底面直径与母线长度相等,即(2R)2=Q,所以R=.
5.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD解:如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.
B级 能力提升
6.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是 ( )
A.2
B.2π
或
D.或
解析:设圆柱的底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱的底面周长,则2πr=8,所以r=;同理,若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长,则2πr=4,所以r=.
答案:C
7.把一个圆锥截成圆台,若圆台的上、下底面圆半径的比是1∶4,截去的小圆锥的母线长为3,则圆台的母线长为9.
解析:如图所示,设截得的圆台的母线长为x,上、下底面圆的半径分别为r,4r,根据三角形相似的性质,得=,解得x=9.
8.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.
(1)求三棱柱侧面展开图的对角线长;
(2)求从B经M到C1的最短路线长及此时的值.
解:沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B'1B'(如图所示).
(1)矩形BB1B'1B'的长为BB'=6,宽为BB1=2.
所以三棱柱侧面展开图的对角线长为=2.
(2)由侧面展开图可知,当B,M,C1三点共线时,由B经M到C1的路线最短.
所以最短路线长为图中的BC1,BC1==2.
显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,
所以A1M=AM,即=1.
C级 挑战创新
9.多选题两平行平面截半径为5的球,若截面面积分别为9π和16π,则这两个平面间的距离可能是 ( )
A.1
B.3
C.4
D.7
解析: 由截面的面积分别为9π和16π知截面的半径分别为3和4.
如图①所示,若两个平行截面在球心同侧,则CD=-=1.
①
②
如图②所示,若两个平行截面在球心两侧,则CD=+=7.
答案:AD
10.已知正方体内接于圆锥,如图所示.若圆锥的高为40 cm,底面半径为 30 cm,求正方体的棱长.
解:该几何体的轴截面如图所示,其中ED为正方体的上底面的对角线,设正方体的棱长为a cm,
则ED=FG=a cm,DG=EF=a cm,
依题意AH=40 cm,HC=HB=30 cm,
且tan C==,即=,
解得a=120(3-2).
即正方体的棱长为120(3-2)cm.
