(共19张PPT)
第八章 立体几何初步
答案:D
相交
交线
a∥b
答案:B
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@PA级 基础巩固
1.下列图形中能正确表示语句“α∩β=l,a α,b β,a∥β”的是 ( )
A
B
C
D
解析:A项中不能正确表示b β;B项中不能正确表示a∥β;C项中也不能正确表示a∥β.D项正确.
答案:D
2.多选题下列命题中,a,b表示直线,α表示平面,其中不正确的有 ( )
A.若a∥b,b α,则a∥α
B.若a∥α,b∥α,则a∥b
C.若a∥b,b∥α,则a α或a∥α
D.若a∥α,b α,则a∥b
解析:A项中缺少a α这一条件,所以无法得出a∥α;B项中a,b还有可能相交或异面;C项正确;D项中a与b还可能异面.
答案:ABD
3.如图所示,下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的是 ( )
① ② ③ ④
①③
①④
②③
D.②④
解析:①中,连接BC,交PN于点D(图略),则D为PN中点.所以AB∥MD.因为MD 平面MNP,AB 平面MNP,所以AB∥平面MNP;④中,AB∥NP,而NP 平面MNP,AB 平面MNP,所以AB∥平面MNP.
答案:B
4.如图①所示,已知正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,连接AB,AC,如图②所示,则BF与平面ADE的位置关系是平行.
①
②
解析:由图①可知,BF∥ED,由图②可知,BF 平面AED,ED 平面AED,故BF∥平面AED.
5.如图所示,已知AB∥α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于点C,D.求证:AC=BD.
证明:如图所示,连接CD,
因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,设此平面为β,
因为AB∥α,AB β,α∩β=CD,所以AB∥CD.
所以四边形ABDC是平行四边形.所以AC=BD.
B级 能力提升
6.已知点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:如图所示,由线面平行的判定定理可知,BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.
答案:C
7.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是 ( )
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.BE∶EA=BF∶FC,且DH∶HA=DG∶GC
D.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
解析:由于BD∥平面EFGH,所以BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC.
答案:D
8.如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥α,AD,BC分别与平面α交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN=5.
解析:因为AB∥α,AB 平面ABCD,平面ABCD∩α=MN,所以AB∥MN.又点M是AD的中点,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=(AB+CD)=5.
9.(2024·广东学业考试)如图,直线EA和直线DC均垂直于平面ABC,且AB⊥AC,AB=AC=AE=2,F为线段BE上一动点.
(1)求证:DC∥平面ABE;
(2)求△ACF面积的最小值.
(1)证明:因为DC⊥平面ABC,EA⊥平面ABC,所以DC∥EA.又因为EA 平面ABE,DC 平面ABE,所以DC∥平面ABE.
(2)解:因为EA⊥平面ABC,AB,AC 平面ABC,所以EA⊥AC,EA⊥AB.因为AC⊥AB,EA 平面ABE,AB 平面ABE,EA∩AB=A,所以AC⊥平面ABE.因为AF 平面ABE,所以AC⊥AF,因为AC=2,所以S△ACF=AC·AF=AF,即AF最小时,S△ACF最小.因为F为线段BE上一点,所以当AF⊥BE时,AF最小.因为AE=AB=2,所以△EAB为等腰直角三角形,所以∠ABF=45°.所以AF=ABsin 45°=,所以△ACF面积的最小值为.
C级 挑战创新
10.探索性问题如图所示,四边形ABCD为正方形,△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,P是线段CD的中点,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE 若存在,指出点M的位置,并证明你的结论.
解:如图所示,存在点M.
当点M是线段AE的中点时,PM∥平面BCE.
证明:取BE的中点N,连接CN,MN,MP,则MN∥AB,且MN=AB.
又PC∥AB,且PC=AB,
所以PC∥MN,且PC=MN,
所以四边形MNCP为平行四边形,所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE,CN 平面BCE,
所以PM∥平面BCE.
