(共24张PPT)
第八章 立体几何初步
【解题模型示范】
○
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2订世看
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读
两个平面交于一条直线，一个梯形的两腰分别在两个平
面内.
想
延长梯形的两腰，必有交点，关键是看交点是否在直
线1上
因为在梯形ABCD
中，AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB,CD必定相交于一点
算
设AB∩CD=M.
因为ABCa,CDC3,
所以M∈a,M∈B,所以M∈α∩B.
又因为&∩3=l,所以M∈1，即AB,CD,l共点
(相交于一点).
方法规律：
(1)证明三点共线的方法：①首先找出两个平面，然后证
明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可
知，这些点都在两个平面的交线上.②先选择其中两点确
思
定一条直线，再证明另一点也在此直线上.
(2)证明三线共点的方法：先说明两条直线共面且交于一
点，再证明此交点在另一直线上，把三线共点的证明转
化为三点共线的证明.A级 基础巩固
1.下列图形中,不一定是平面图形的是 ( )
三角形
B.菱形
C.梯形
D.四条边相等的四边形
解析:三角形的三个顶点为不共线的三点,因此一定是平面图形;菱形、梯形分别有两组、一组对边平行,故为平面图形;四边相等的四边形可能为空间四边形.
答案:D
2.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是( )
①A∈a,a∈α A∈α;
②A a,a α A α;
③A∈a,a α A α.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①不正确,因为“a∈α”表述错误;②不正确,如图所示,A a,a α,但A∈α;③不正确,“A α”表述错误.
答案:A
3.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是 ( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
解析:因为A∈α,A∈β,所以A∈α∩β. 由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是A. 故α∩β=A的写法错误.
答案:C
4.空间内两两平行的三条直线最多可以确定3个平面.
解析:如图所示,此时确定的平面个数最多.
5.如图所示,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.
求证:M,N,K三点共线.
证明:因为M∈PQ,PQ 平面PQR,M∈BC,BC 平面BCD,
所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,
所以点M在平面PQR与平面BCD的交线上.
同理可证,点N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M,N,K三点共线.
B级 能力提升
6.在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,那么 ( )
A.点P一定在直线BD上
B.点P一定在直线AC上
C.点P在直线AC或BD上
D.点P既不在直线BD上,也不在直线AC上
解析:由题意知,GH 平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上.
答案:B
7.若平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有1或2或3条.
解析:当平面β与平面γ相交时,若平面α过平面β与平面γ的交线,则这三个平面有1条交线;若平面α不过平面β与平面γ的交线,则这三个平面有3条交线;当平面β与平面γ平行时,则这三个平面有2条交线.
8.如图所示,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.
解:点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在这两个平面的交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
因为E∈AC,AC 平面SAC,所以E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD,所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连接SE,则直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
C级 挑战创新
9.如图所示,正方体木料ABCD-A1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点,要过D1,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成
解:作法如下:
(1)连接MN并延长交DC的延长线于点F,连接D1F交CC1于点Q,连接QN;
(2)延长NM交DA的延长线于点E,连接D1E交AA1于点P,连接MP;
(3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM,MN,NQ,QD1,即为木工师傅所要画的线.
