A级 基础巩固
1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是 ( )
A.l和平面α相互平行
B.l和平面α相互垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
解析:如图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.
答案:D
2.直线l与平面α所成的角为70°,若直线l∥m,则m与α所成的角等于 ( )
A.20°
B.70°
C.90°
D.110°
解析:因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于直线m与平面α所成的角.因为直线l与平面α所成的角为70°,所以直线m与平面α所成的角为70°.
答案:B
3.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,若PA⊥平面ABCD,则图中共有4个直角三角形.
解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,所以△PAB,△PAD都是直角三角形.
因为BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形.
同理得CD⊥PD,所以△PCD是直角三角形.
故共有4个直角三角形.
4.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一点,若∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为2.
解析:因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即为直线PC与平面ABC所成的角.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以AC=AB.在Rt△PAC中,AC=AB=PA,所以tan∠PCA==2.
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD. 求证:BD⊥平面PAC.
证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.因为∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.
因为AC 平面PAC,PA 平面PAC,AC∩PA=A,
所以BD⊥平面PAC.
B级 能力提升
6.多选题(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 ( )
V3=2V2
B.V3=V1
C.V3=V1+V2
D.2V3=3V1
解析:如图,连接BD交AC于O,连接OE,OF.设AB=ED=2FB=2,则AB=BC=CD=AD=2,FB=1.因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD,所以V1=VE-ACD=S△ACD×ED=×AD×CD×ED=××2×2×2=,V2=VF-ABC=S△ABC×FB=×AB×BC×FB=××2×2×1=.
因为ED⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以ED⊥AC,又AC⊥BD,且ED∩BD=D,ED,BD 平面BDEF,所以AC⊥平面BDEF.因为OE,OF 平面BDEF,所以AC⊥OE,AC⊥OF.易知AC=BD=AB=2,OB=OD=BD=,OF==,OE==,EF===3,所以EF2=OE2+OF2,所以OF⊥OE,又OE∩AC=O,OE,AC 平面ACE,所以OF⊥平面ACE,所以V3=VF-ACE=S△ACE·OF=×AC×OE×OF=××2××=2,所以V3≠2V2,V1≠V3,V3=V1+V2,2V3=3V1,所以选项A,B不正确,选项C,D正确,故选CD.
答案:CD
7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA和两条对角线AC,BD都相等,若E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为.
解析:如图所示,连接EF.根据题意知BC⊥AF,BC⊥DF.
因为AF 平面ADF,DF 平面ADF,AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF,所以∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角.设BC=2,则BF=1,BE=,所以sin∠BEF==.
8.(2024·广东云浮期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥DC,BC=CD=AD,E为AD的中点.
(1)证明:BD⊥平面PAB.
(2)若PA=AD,求直线PE与平面PAB所成角的正切值.
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD.如图,连接BE,EC,因为BC∥DE,且BC=DE,所以四边形BCDE为平行四边形.又DE⊥CD,BC=CD,所以平行四边形BCDE为正方形,则BD⊥EC.又AB∥EC,所以BD⊥AB.又PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BD⊥平面PAB.
(2)解:如图,取AB的中点F,连接EF,PF,因为E,F分别为AD,AB的中点,所以EF∥BD,由(1)知BD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,则∠EPF就是直线PE与平面PAB所成的角,设PA=AD=2,则BC=CD=AD=1,所以BD=,EF=.在Rt△ABE中,AB===,AF=,所以PF===,所以tan ∠EPF===.
C级 挑战创新
9.探索性问题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上移动,若点P总是满足AP⊥BD1,则动点P满足的条件是什么 并说明理由.
解:当点P在线段B1C上时,可以总是满足AP⊥BD1.
理由如下:
如图所示,连接AC,BD,AB1,B1C,B1D1.
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,
所以BB1⊥平面ABCD.
因为AC 平面ABCD,所以BB1⊥AC.
因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.
因为BD 平面BDD1B1,BB1 平面BDD1B1,BB1∩BD=B,
所以AC⊥平面BDD1B1.
因为BD1 平面BDD1B1,
所以BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1.
因为AC 平面AB1C,AB1 平面AB1C,AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C.
因为点P在线段B1C上,
所以AP 平面AB1C,所以AP⊥BD1.(共27张PPT)
第八章 立体几何初步
任意一条
垂线
垂面
垂足
垂直
一条
长度
两条相交直线垂直
a∩b=P
答案:C
答案:B
斜足A
相交
垂直
PA
交点A
垂线PO
垂足O
90°
0°
答案:B
答案:B
③④
答案:B
○
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2订世看
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读
三棱锥中有一个直角，两个60°角，三条长度相等的棱.
想
先作出线段AS在平面SBC上的射影，得到直线与平面所
成的角，将该角放到三角形中求解即可.
因为∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC,
所以△ASB与△SAC都是等边三角形.
所以AB=AC.
如图所示，取BC的中点D,连接AD,SD,则AD⊥BC
算
设SA=a,则在Rt△SBC中，BC=√2a,CD=
√2
SD=
a.
2
在RIAADC中，AD=VAC-CD-2
a.
所以AD2+SD2=SA2,所以AD⊥SD
又因为BC∩SD=D,所以AD⊥平面SBC.
因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角，
在Rt△ASD中，SD=AD=
所以∠ASD=45°，
即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
1.思想方法：转化思想
2.方法规律
。
(1)求直线和平面所成角的步骤.①寻找过斜线上一点与
平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上
的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
思
③把该角“转移到”某个三角形中，通过解三角形，求
出该角.
(2)求线面角的技巧.在求线面角的步骤中，其中作角是
关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何
图形的特征是找射影的依据，找射影一般都是找一些特
殊的点，比如中心、垂心、重心等.
