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第八章 立体几何初步
一个平面内有一直线
交线
垂直
线面
答案:B
④
○
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拉
C
B
MA级 基础巩固
1.若平面α⊥平面β,直线a∥平面α,则 ( )
A.直线a⊥平面β
B.直线a∥平面β
C.直线a与平面β相交
D.以上都有可能
解析:因为直线a∥平面α,平面α⊥平面β,所以直线a与平面β垂直、相交、平行都有可能.
答案:D
2.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使n⊥β,则应增加的条件是 ( )
A.m∥n
B.n⊥m
C.n∥α
D.n⊥α
解析:已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β.
答案:B
3.如图所示,三棱锥P-ABC中,若平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则 ( )
A.PD 平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
解析:因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因为平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以PD⊥平面ABC.
答案:B
4.如图所示,沿Rt△ABC的中位线DE将△ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE,则平面ABC与平面ACD的关系是垂直.
解析:因为AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,所以AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC.因为CD⊥BC,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD.
因为BC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
5.如图所示,已知平面α,β,α⊥β,在α与β的交线上取线段 AB=4 cm,AC,BD分别在α和 β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,求CD的长.
解:如图所示,连接BC.
因为α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,所以BD⊥平面α.
因为BC α,所以BD⊥BC.
在Rt△BAC中,BC===5(cm),
在Rt△DBC中,CD===13(cm),
所以CD长为13 cm.
B级 能力提升
6.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B都是定点,则动点C运动形成的图形是 ( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC 平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC. 因为BC 平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(不含A,B两点).
答案:D
第6题图
第7题图
7.如图所示,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是45°.
解析:如图所示,过点A作AO⊥BD于点O.
因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD,所以∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.
因为∠BAD=90°,AB=AD,
所以∠ADO=45°.
8.(2024·广东广州模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,△AB1C为正三角形,AB=BC=2,AB⊥BC,点D为AC的中点,平面ABC⊥平面AB1C.
(1)若C1D⊥B1C,证明:平面BC1D⊥平面BCC1B;
(2)若AA1=CC1=4,记平面ABB1A1与平面BC1D的交线为l,求二面角A1-l-C1的余弦值.
(1)证明:因为平面ABC⊥平面AB1C,且平面ABC∩平面AB1C=AC,AB=BC,且点D是AC的中点,所以BD⊥AC,又BD 平面ABC.所以BD⊥平面AB1C,B1C 平面AB1C.所以BD⊥B1C,又C1D⊥B1C,且BD∩C1D=D,BD,C1D 平面BC1D,所以B1C⊥平面BC1D,且B1C 平面BCC1B1.所以平面BC1D⊥平面BCC1B1.
(2)解:由题意知,BD=AC=,B1D=AC=,因为△AB1C是等边三角形,且点D为AC的中点,则B1D⊥AC.又因为平面ABC⊥平面AB1C,平面ABC∩平面AB1C=AC,B1D 平面AB1C,所以B1D⊥平面ABC.因为BD 平面ABC,所以B1D⊥BD,可得B1B===2,取AB的中点M,连接DM,B1M.
因为B1B=AB1,AD=DB,则B1M⊥AB,DM⊥AB,且B1M∩DM=M,B1M,DM 平面B1DM,则AB⊥平面B1DM.对于梯形ABB1A1,过点A作AD1⊥A1B1,垂足为D1,
因为B1M==,则AD1=B1M=,可得A1D1==3,由A1B1=A1D1+B1D1=4,可知==,且A1B1=B1C1=4,A1C1=4,将三棱台ABC-A1B1C1补成三棱锥G-A1B1C1,则===.设C1D∩A1G=N,可知l即为直线BN,则===,即=,可得NA=,由==,则B1,M,N三点共线,且NB1====,可知B1N为线段AB的垂直平分线,则NA=NB=.过点D作DH⊥B1N,垂足为H,过H作HF⊥BN,垂足为F,连接DF.因为AB⊥平面B1DM,DH 平面B1DM,所以DH⊥AB,且B1N∩AB=M,B1N,AB 平面GA1B1,可得DH⊥平面GA1B1,由BN 平面GA1B1,可得DH⊥BN,且DH∩HF=H,DH,HF 平面DHF,所以BN⊥平面DHF,由DF 平面DHF,可得DF⊥BN,可知二面角A1-l-C1的平面角为∠DFH.因为B1D⊥平面ABC,由DM 平面ABC,所以B1D⊥DM,在Rt△B1DM中,B1D=,DM=1,B1M=,可得DH==,B1H==,则NH=B1N-B1H=,在Rt△BMN中,BN=,BM=1,可得sin∠BNM==,在Rt△NHF中,可得HF=NH·sin∠BNM=,在Rt△DHF中,则DF=====,可得cos∠DFH==,所以二面角A1-l-C1的余弦值为.
C级 挑战创新
9.探索性问题如图所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°
(1)证明:如图所示,过点E作EG⊥CF于点G,连接DG.
由题意,得四边形BCGE为矩形.
因为四边形ABCD为矩形,BE∥CF,
所以AD∥EG,AD=BC=EG,
所以四边形ADGE为平行四边形,
所以AE∥DG.
因为AE 平面DCF,DG 平面DCF,
所以AE∥平面DCF.
(2)解:如图所示,过点B作BH⊥FE,交FE的延长线于点H,连接AH.
因为平面ABCD⊥平面BEFC,AB⊥BC,平面ABCD∩平面BEFC=BC,AB 平面ABCD,
所以AB⊥平面BEFC.
因为BH⊥EF,所以AH⊥EF,
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角.
在Rt△EFG中,因为EG=AD=,EF=2,
所以∠CFE=60°,FG=1.
易知CF=4,所以BE=CG=3,
所以BH=BE·sin∠BEH=.
当∠AHB=60°时,
AB=BH·tan∠AHB=tan∠AHB=,
所以当AB=时,二面角A-EF-C的大小为60°.
