第十八章 平行四边形 章末综合测试题 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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第十八章 平行四边形 章末综合测试题
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．不能判断四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．，
C．， D．，
2．一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点B在y轴正半轴上，则另一个顶点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形的面积为（　　）
A．98 B．196 C．280 D．284
6．如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（　　）
A．12 B．11 C．10 D．24
7．（教村母题变式）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
8．如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
10．延时课上，王林用四根长度都为的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图的图形，并测得，则在此变化过程中结论错误的是(　　)

A．长度不变，为 B．长度变小，减少
C．长度变大，增大 D．面积变小，减少
二、填空题
11．如图所示，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点E，则 ．
12．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是 ．
13．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
14．如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ．
15．如图，正方形中，，是的中点，点是对角线上一动点，则的最小值为 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、 B(4,2),则其第四个顶点是 .
17．如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ．
18．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为 ．

三、解答题
19．已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上的两个点，且．求证：
(1)
(2)四边形为平行四边形．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．
21．如图，等边的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点同时出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间的值是多少？
22．如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．

23．在中，，、的平分线相交于点D，，，垂足为E、F．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，，求正方形的面积．
24．如图，四边形、均为正方形，且、、三点在同一直线上，在线段上，为上一点，，与交于点，连接、、．
(1)求证：
(2)若，，求的周长．
25．如图，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，
(1)猜想四边形的形状，并证明你的猜想．
(2)连接，若，直接判断四边形的形状（不必证明）．
26．定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．

(1)①如图1，准矩形中，，若，，则_____；
②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是_____；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
(2)如图3，正方形中，点、分别是边、上的点，且，求证：四边形是准矩形；
(3)已知，准矩形中，，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是_____．
参考答案
1．C
此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解：A．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
B．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题；
C．不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题；
故选：C．
2．B
本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
解：∵点对应的刻度为，
∴，
∵，点为边的中点，
∴，
故选：B．
3．B
如图所示，连接AC交OB于D，利用菱形的性质求出OD、CD的长即可得到答案．
解：如图所示，连接AC交OB于D，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AD=CD，
∵点A的坐标为（-2，1），
∴AD=2，OD=1，
∴CD=AD=2，
∴点C的坐标为（2，1），
故选B．
本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，熟知菱形的性质是解题的关键．
4．C
本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．根据平行四边形的性质求出，再利用三角形内角即可求解．
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x、y，根据和周长为68列出方程组，求出x、y，再算出长、宽即可得面积．解题的关键是根据图示找到所需要的数量关系．
解：设小长方形的长、宽分别为x、y，
依题意得：，
解得：，
∴矩形的面积为．
故选C．
6．A
先证四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则△POF的面积等于△AOE的面积．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．
解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC//AD，AB//CD．
∵PE//BC，PF//CD，
∴PE//AF，PF//AE．
∴四边形AEPF是平行四边形．
∴S△POF＝S△AOE．
∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，
∴△ABC的面积＝菱形的面积＝×（×6×8）＝12，
则阴影部分的面积是12．
故选：A．
本题主要考查了菱形的性质，解决本题的关键是得出阴影部分的面积就是△ABC的面积．
7．B
根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
如答图，连接．
边长为6的正方形的中心与正方形的顶点重合，
即点是正方形的中心，
，
．
又，
，
．
在和中，
，
，
，，
．
故选：B．
8．C
利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解.
解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.
9．C
根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
10．D
根据正方形的性质，菱形的性质分别求得面积，，的长度，然后逐项分析判断即可求解．
连接，，

四边形是正方形，
，，，，
，正方形面积，
，
在菱形中，连接，，过作于点，
，，，
，
是等边三角形，
，，，
菱形面积，
故选项A不符合题意；
，
故选项B不符合题意；
，
故选项C不符合题意；
故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形与菱形的性质是解题的关键．
11．2
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，即可得出结论．
解：∵四边形是平行四边形；
，．
，
的平分线交于点，
，
，
，
，，
，
故答案为：2．
12．20°
先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠BDH＝∠DHO，利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠BDH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠BDH+∠CDO＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠BDH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故答案为：20°．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）
由菱形的判定方法进行判断即可．
解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加条件是：，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OA=OC，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OB=OD，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可）
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键．
14．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、角平分线的性质．首先根据三角形中位线的性质可知，根据平行四边形的性质可知，根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证，根据等角对等边可得，从而可得．
解：，分别是，的中点，，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值．
解：连接，交于点P，连接、．
∵四边形为正方形，，
∴，，
∴点B与点D关于对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴的长即为的最小值，
∵E是的中点，
∴，
在中，．
故答案为：．
16．(1,2)
由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果．
解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝3，
∵B（4，2），
∴点C的坐标为（4 3，2），即C（1，2）；
故答案为（1，2）．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据平行四边形的性质可证、，根据等角对等边可知，根据线段的和与差可知，从而可求．
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
18．
由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出．
解：，
是等腰直角三角形，
作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：
．
，即，
此时、、三点共线且，点在的中点处，
，
．
故答案为：．
本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，截图的关键是掌握证明两个三角形全等以及平行四边形的判定定理．
（1）利用可证得结论；
（2）利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20．(1)见解析
(2)
（1）先判定四边形ADCE是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）证出矩形ADCE是正方形，即可解决问题．
（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，BDAE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，
∴矩形ADCE是正方形，
∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，
∴ACAE＝2，
即矩形ADCE对角线的长为2．
本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．或6
首先根据平行四边形的性质得到，再分点F在线段上和点F在线段的延长线上两种情况进行解答即可求出t的值．此题主要考查了动点几何问题以及平行四边形的性质和等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键.
解：若以A、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，
当点F在线段上时，，
即
解得，；
当点F在线段的延长线上时，，
即
解得，
∴当或时，以A、、、为顶点的四边形是平行四边形．
22．（1）详见解析；（2）
（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形.
（2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积.
（1）证明：由题意可得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形；
（2）∵矩形中， ，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得， ，
∴，
∴四边形的面积是：．
本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可.
23．(1)见解析
(2)4
（1）根据， ，可得四边形DECF是矩形，结合角平分线性质即可得到，即可得到证明；
（2）根据勾股定求出，根据等积法求出，即可得到答案；
（1）证明：过D作，连接，
∵， ，，
∴四边形DECF是矩形，
∵、的平分线相交于点D，，，，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
本题考查角平分线的性质及正方形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线及利用等积法求出正方形的边长．
24．(1)见详解
(2)20
（1）根据正方形的性质利用证明，再利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的判定及性质证明；
（2）过点A作，交延长线于H，证明，然后证明，结合的周长，即可作答．
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
（1）解：∵四边形、均为正方形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
（2）解：过点A作，交延长线于H，如图所示：
则，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长．
25．(1)四边形是菱形，证明见解析
(2)正方形
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形和菱形的判定定理是解题的关键．
（1）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，得到，根据菱形的判定定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到，由（1）的结论得到，得到，进而证明，根据正方形的判定定理证明．
（1）解：四边形是菱形，证明如下：
如图，连接，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点分别为边的中点，
∴分别为的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：四边形是正方形，证明如下：
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
同理可证
∴
∴，
∴菱形为正方形．
26．(1)①；②或；
(2)证明见解析；
(3)或
（1）①利用准矩形的定义和勾股定理计算；
②根据准矩形的特点和整点的特点求出即可；
（2）先利用正方形的性质判断出，即可得到结论；
（3）分两种种情况分别计算，用到梯形面积公式，对角线面积公式，对角线互相垂直的四边形的面积计算方法．
（1）解：①，
，
故答案为：，
②，，
，
设点，，
，
，都为整数，
点或；
故答案为：或；
（2）解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是准矩形；
（3）解：，，，
，
准矩形中，，
①当时，如图1，作，
，
，
；
②当时，如图2，

作，
∵，
，
，
；
故答案为:或
此题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，对角线面积公式，三角形面积公式，全等三角形的判定及性质，分情况计算是解本题的难点．
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