A级 基础巩固
1.甲、乙两人参加一次考试,如果他们合格的概率分别为,,那么两人中恰有1人合格的概率是 ( )
A.
B.
C.
D.
解析:将两人中恰有1人合格(记为事件A)分为“甲合格,乙不合格”(记为事件B),“乙合格,甲不合格”(记为事件C),
因为P(B)=×=,P(C)=×= ,
所以P(A)=P(B)+P(C)=.
答案:B
2.多选题甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为和,甲、乙两人各射击一次,下列说法正确的是 ( )
A.目标恰好被命中一次的概率为+
B.目标恰好被命中两次的概率为×
C.目标被命中的概率为×+×
D.目标被命中的概率为1-×
解析:目标恰好被命中一次的概率为×(1-)+(1-)×,故A项错误.
由相互独立事件概率乘法公式,得目标恰好被命中两次的概率为×,故B项正确.
目标被命中的概率为1-(1-)×(1-)=1-×,故C项错误,D项正确.
答案:BD
3.(2024·广东东莞期末)假设P(A)=,P(B)=,且A与B相互独立,则P(A)=.
解析:因为P(A)=,P(B)=,则P()=,又A与B相互独立,则A与相互独立,则P(A)=P(A)·P()=×=.
4.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.若甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为,,,且他们是否破译出密码互不影响,则至少有1人破译出密码的概率是.
解析:依题意,设事件A表示至少有1人破译出密码,则事件A的对立事件表示三人都没有破译密码,则P(A)=1-P()=1-(1-)×(1-)×(1-)=.
5.如图所示,A,B,C表示某系统中的三个元件,元件A,B中至少有一个正常工作,系统才可以正常工作.设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7,求该系统正常工作的概率.
解:设事件A表示元件A正常工作,事件B表示元件B正常工作,事件C表示元件C正常工作,则P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7,系统正常工作分成两个步骤,C正常工作且A,B至少有一个正常工作,A,B至少有一个正常工作的概率为1-(1-0.9)×(1-0.8)=0.98,所以这个系统正常工作的概率为P=0.7×0.98=0.686.
B级 能力提升
6.(2023·佛山一模)已知事件A,B,C的概率均不为0,则P(A)=P(B)的充要条件是 ( )
A.P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.P(A∪C)=P(B∪C)
C.P(A )=P( B)
D.P(AC)=P(BC)
解析:因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),由P(A∪B)=P(A)+P(B),只能得到P(A∩B)=0,并不能得到P(A)=P(B),故选项A错误;因为P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(A∩C),P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C),由P(A∪C)=P(B∪C),只能得到P(A)-P(A∩C)=P(B)-P(B∩C),由于不能确定A,B,C是否相互独立,故无法确定P(A)=P(B),故选项B错误;因为P(A )=P(A)-P(AB),P( B)=P(B)-P(AB),又P(A )=P( B),所以P(A)=P(B),故选项C正确;若A,B,C相互独立,则P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则由P(AC)=P(BC)可得P(A)=P(B),但由于不能确定A,B,C是否相互独立,所以由P(AC)=P(BC)无法确定P(A)=P(B),故选项D错误;故选C.
答案:C
7.某班甲、乙、丙3名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为,则甲、乙、丙3名同学中,恰有1名同学当选的概率为.
解析:设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,则
P(A)=,P(B)=,P(C)=.
因为A,B,C相互独立,所以甲、乙、丙3名同学中,恰有1名同学当选的概率为P(A )+P(B)+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=××+××+××=.
8.某市准备在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
解:(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××(1-)=,
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为×(1-)×=,
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1-)××=,
所以恰有两个项目成功的概率为++=.
(2)三个项目全部失败的概率为(1-)×(1-)×(1-)=,
所以至少有一个项目成功的概率为1-=.
9.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手被淘汰的概率P1;
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题被淘汰的概率P2.
解:记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i=1,2,3,4),则P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2.
该选手被淘汰的概率P1=1-P(A1A2A3A4)=1-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
=1-0.6×0.4×0.5×0.2
=1-0.024
=0.976.
(2)P2=P(A1+A1 A2+A1 A2 A3)
=P(A1)·P()+P(A1)P(A2)P()+P(A1)P(A2)P(A3)·P()
=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8
=0.576.
C级 挑战创新
10.(2022·全国乙卷,理)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛 ,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
解析:设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲,在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙 ,在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙,
由题意可知,P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3,
P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2 +2p2p3-4p1p2p3,
P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.
所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0,P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0,所以P丙最大,故选D.
答案:D(共23张PPT)
第十章 概 率
P(A)·P(B)
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
答案:C
答案:A
答案:C
○
21世织纪教痘
2订世看
,27G2@P
读
已知A,B,C为独立事件及其发生的概率，
想
(1)分三种情况讨论；(2)可先求其对立事件，事件A,B,C
至多发生两个的对立事件为三个同时发生，
(1)记“事件A,B,C只发生两个”为事件A1,则事件
A1=ABC+ABC+ABC,所以P(A1)=P(ABC)+
PAC+raC)=×号×(1-号)+×
1
(1-)×(1)×
3
(2)记“事件A,B,C至多发生两个”为事件A2.因为
算
“事件A,B,C至多发生两个”的对立事件为“事件A,
B,C同时发生”，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=
1、,2、,31
2
3
4=4,所以P(A2)=1-P(ABC)=1-
1
3
4
1方法规律：求解概率综合应用问题的思路
(1)“大化小”，即将问题化为若干个彼此互斥或相互独
立的事件：
(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解，在运用乘法
公式时一定要注意是否满足相互独立，只有相互独立才
思
能运用乘法公式。
(3)“正难则反”，间接处理在求事件的概率时，若遇到
求“至少…”或“至多…”等的概率问题，可先求
其对立事件的概率，
2易错提醒：利用概率的计算公式解决该类问题时，
定要先判断事件是互斥还是相互独立，再灵活选用恰当
的概率计算公式进行求解，
