18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
3．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）

A．（3，1） B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）
4．能确定四边形是平行四边形的条件的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组邻角相等
C．一组对边平行且相等
D．两条对角线相等
5．如图，对四边形增加条件，使之成为平行四边形，下面添加不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与相互平分
6．在四边形ABCD中，将下列条件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（　　）组．
（1）AB∥CD （2）AD∥BC （3）AB=CD （4）AD=BC （5）∠A=∠C （6）∠B=∠D
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大
8．如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点运动的时间为（ ）
A．1 B． C．2或 D．1或
二、填空题
9．如图，在四边形中，，对角线，交于点，现有三个条件①；②；③．其中可以判定四边形是平行四边形的有 (只写序号即可)．
10．在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是 ．
11．如图，在中，，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿边向点C运动，点E运动速度为，点F的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过 s时，．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E、F两点，AB=6，BC=10，则EF的长度是 ．

13．如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，连接AP，若S△APH=2，则S四边形PGCD= ．
三、解答题
14．如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）已知DE=2，FN=1，求BN的长．
15．已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.
16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
17．如图，在平面直角坐标系内，以A（3，5），B（1，1），C（4，1）三点为顶点画平行四边形．
（1）可以画多少个平行四边形？
（2）写出每个平行四边形第四个顶点D的坐标，并指出它所在的象限．
18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？

19． 如图，中，，当时，．根据这个结论，解决下面问题：在梯形中，，，，，，是线段上一动点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动．

(1)当　　时，四边形为平行四边形；
(2)求四边形的面积；
(3)设点在线段上的运动时间为秒，当运动时，可能是等腰三角形吗？如能，请求出的值；如不能，请说明理由．
参考答案
1．C
本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可．
∵，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
故选项A不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
故选项B不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
故选项D不符合题意；
由，，无法得到四边形是平行四边形，
∴选项C符合题意．
故选：C．
2．D
本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定定理，即可解决问题．
解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个，
故选：D．
3．B
作出图形，结合图形进行分析可得.
如图所示：

①以AC为对角线，可以画出 AFCB，F（-3，1）；
②以AB为对角线，可以画出 ACBE，E（1，-1）；
③以BC为对角线，可以画出 ACDB，D（3，1），
故选B.
4．C
试题分析：由平行四边形的判定方法和梯形的判定方法容易得出结论．
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形，选项A错误；
B、一组对边平行，一组邻角相等的四边形可能是梯形，不一定是平行四边形，选项B错误；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选项C正确；
D、两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，选项D错误；
故选C．
点评：本题考查了平行四边形的判定方法、梯形的判定方法；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
5．B
根据平行四边形的判定定理依次判断即可得到答案.
A、根据一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形；
B、根据一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形是平行四边形；
C、根据两组对边分别相等判定四边形是平行四边形；
D、根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形；
故选：B.
此题考查了平行四边形的判定定理，正确掌握平行四边形的判定定理并运用解题是关键.
6．C
根据平行四边形的5种判定方法，能推出四边形ABCD是平行四边形的有(1)(2)，(1)(3)，(1)(5)，(1)(6)，(2)(4)，(2)(5)，(2)(6)，(3)(4)，(5)(6)；
能推出四边形ABCD是平行四边形的有：
(1)(2)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(1)(3)，(2)(4)，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3)(4)，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(5)(6)，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(1)(5)，(1)(6)，(2)(5)，(2)(6)，这几组都是一组对边平行，一组对角相等，由这个条件可以推导出另一组对边平行(或另一组对角相等)，根据两组对边分别平行的四边形(或两组对角分别相等的四边形)是平行四边形可得到平行四边形；
综上，共有9组，
故选C．
本题考查了平行四边形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
7．A
根据题意，易证，根据，可得四边形ABFD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可解答．
∵AC⊥BC，BF⊥BC，
∴，
又∵，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD，DF=DE+EF=AB，
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变．
故选∶A．
本题主要考查了平行四边形得判定和性质，熟练地掌握平行四边形得判定方法和性质是解题的关键．平行四边形对边平行且相等．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
8．D
要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知，即要使PD=EQ即可，设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，分别表示出PD，EQ的长度，根据PD=EQ列方程求解即可．
设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，则AP=t，CQ=3t，
由E是BC的中点可得：BE=EC=8，
要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知，即要使PD=EQ即可．
（1）如图：点Q位于点E右侧时，
PD=6－t，CQ=3t，EQ=8－3t，
6－t =8－3t，
t=1（秒）；
（2）如图：点Q位于点E左侧时，
PD=6－t，CQ=3t，EQ=3t－8，
6－t =3t－8，
t=（秒）．
综上所述：P的运动时间为1或秒．
故选：D．
本题主要考查平行四边形的判定方法以及一元一次方程的应用，熟记平行四边形的判定方法，根据对应边相等列方程是解题关键．
9．①②/②①
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质；根据平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可．
解：①，，
四边形是平行四边形，故①符合题意；
②，
，
又，，
，
，
四边形是平行四边形，故②符合题意；
③由，，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合题意；
故答案为：①②．
10．或或
分两种情况：①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的坐标．
解：①当为平行四边形的边时，，
∵，，，
∴点C坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，，
故答案为：或或．
此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解．
11．/
本题考查了一元一次方程的应用以及平行四边形的判定与性质．当运动时间为时，，，先得出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：当运动时间为时，，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
12．2
由在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，F两点，易得△ABF与△CDE是等腰三角形，即可证得AF=DE=AB=CD=6，又EF=AF+DE-AD可得EF的长度．
解：四边形ABCD是平行四边形，
AD//BC，AB=CD．
BF为∠ABC的平分线，
∠ABF=∠BCF=∠AFB．
△ABF为等腰三角形
AB=AF=6，
同理可得：△CDE为等腰三角形
CD=DE=6，
故：EF=AF+DE-AD
=6+6-10
=2
故答案为：2．
本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
13．8．
根据平行四边形的判定定理得到四边形HPFD、四边形PGCF是平行四边形，根据平行四边形的性质、三角形的面积公式计算即可．
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、四边形PGCF是平行四边形，
∵S△APH＝2，CG＝2BG，
∴S△DPH＝2S△APH＝4，
∴平行四边形HPFD的面积＝8，
∴平行四边形PGCF的面积＝×平行四边形HPFD的面积＝4，
∴S四边形PGCD＝4+4＝8，
故答案为8．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
14．（1）证明见解析（2）
分析：(1)、根据ABCD是平行四边形得出CD∥AB，根据垂直得出AM∥CN，从而得出平行四边形；(2)、根据平行四边形的性质得出△MDE和△NBF全等，得出BF=2，最后根据Rt△BNF的勾股定理得出BN的长度．
详解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴AM∥CN， ∴CM∥AN，AM∥CN， ∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形， ∴CM=AN， ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB， ∴DM=BN，∠MDE=∠NBF， ∴△MDE≌△NBF，
∴BF=DE=2， 在Rt△BNF中，BN=．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及直角三角形的勾股定理，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要明白平行四边形的性质．
15．证明见解析
（1）根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明．
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BMDN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC．
∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD．
∴∠EAM=∠FCN．
又∵AE=CF
∴△AEM≌△CFN（ASA）．
（2） ∵由（1）△AEM≌△CFN
∴AM=CN．
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴ABCD
∴BMDN．
∴四边形BMDN是平行四边形．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
详解：证明：（1），
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图所示：
由（1）知≌，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
17．（1）3个；（2）第四个顶点的坐标为或或，它们分别在轴上、第一象限、第四象限．
（1）分为平行四边形的对角线和为平行四边形的边的两种情况，根据平行四边形对边平行的性质画出图形即可；
（2）根据点的坐标平移规律、平行四边形的性质即可求出另一点的坐标，再由坐标判断它所在的象限即可．
解：（1）可以画3个平行四边形；如图所示：
（2）由，得，
①如上图，四边形是平行四边形，
，
则点可由点向左平移3个单位得到，
，即，在轴上；
②如上图，四边形是平行四边形，
，
则点可由点向右平移3个单位得到，
，即，在第一象限；
③如上图，四边形是平行四边形，
，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
，
，即，在第四象限；
综上，第四个顶点的坐标为或或，它们分别在轴上、第一象限、第四象限．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形、点坐标的平移变换规律等知识点，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
18．8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：
AP=tcm，PD=（24-t）cm，CQ=2tcm，BQ=（30-2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP=BQ，
∴t=30-2t， 解得：t=10，
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD=CQ，
∴24-t=2t， 解得：t=8，
∴8s后四边形PQCD是平行四边形；
综上：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
19．(1)
(2)
(3)当，，5时，是等腰三角形．
（1）根据当时，四边形为平行四边形，利用求出即可；
（2）首先求出的长，再利用即可得出答案；
（3）利用①当时，②当时，③当时，分别求出时间即可．
（1）解：根据题意可得出：当时，四边形为平行四边形；
时，四边形为平行四边形；
故答案为：；
（2）解：作于点，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当时，由（2）知：，
（秒，
②当时，由题意可得：，
（秒，
③当时，

由题意可得：，
（秒，
综上所述：当秒，秒，5秒时，是等腰三角形．

此题主要考查了四边形综合应用以及等腰三角形的性质和四边形面积求法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
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