18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
18.1.2 平行四边形的判定 第3课时 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．如图，在中，，点分别为的中点，则（ ）

A． B．1 C．2 D．4
2．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4．如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，，分别是，的中点，若，则该工件内槽宽的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，，射线平分，于点，连接，延长至，若，，则线段的长度为（ ）

A． B． C． D．.4
7．如图，中，，，，，，则的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
8．如图，是内一点，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．41
二、填空题
9．如图，在四边形中，，，E，F，M分别为边，和对角线的中点．连接，，则 ．
10．如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．

11．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ．
12．如图，在中，，，点是边上的一点，且，以为直角边作等腰直角，连接并取的中点，连接，则的长为 ．

13．如图，在四边形中，平分，E，F分别是，的中点，若，，则的长为 ．
三、解答题
14．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
15．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)求证：
16．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的度数．
17．[教材呈现]
（1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
求证：．
[结论应用]
（2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：．
（3）若（2）中的，则的大小为多少？
18．[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：如图，，分别是的边，的中点，求证：，且．
[定理证明]乐乐给出如下部分证明：
证明：如图1，延长至点，使得，连接……
(1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
(2)[定理应用]如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长：
(3)如图3，在四边形中，点，，，分别是，，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形．
19．【课本再现】
（1）如图1，线段，相交于点，，．求证：
①；
②；
【迁移应用】
（2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明．
20．我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论．
【实践探究】
（1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长．
参考答案
1．D
此题考查了三角形中位线定理的应用，由点分别为的中点得到是的三角形中位线，即可得到答案.
解：∵点分别为的中点，
∴是的三角形中位线，
∴，
故选：D
2．A
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．
延长交的延长线于点，证明是等腰三角形，则得的长，点E是的中点，求得的长，从而是中位线，即可求得的长．
延长交的延长线于点，如图，
，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，点E是的中点，
，是的中位线，
．
故选：A．
3．B
根据三角形中位线定理判断即可．
解：∵点，分别为，的中点，
∴，，
∴线段的长不变，直线，之间的距离不变，故①④符合题意，
而、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故②③不符合题意；
故选：B．
本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
4．C
本题考查的是三角形的中位线的性质，直接利用三角形的中位线的性质可得答案.
解：∵点分别是的中点，
∴，
∴，
故选C．
5．B
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键；
根据题意可得O是的中点，利用三角形的中位线的性质即可求解．
因为四边形是平行四边形，
所以对角线、互相平分，
即O是的中点，
又是的中点，
所以是中位线，
所以，
所以．
故选：B．
6．A
如图③中，延长交于，延长交的延长线于．先证明，得出是的中点，然后得，结合勾股定理得，运用等腰三角形的三线合一得是的中点，证明是的中位线，即求解即可．本题考查四边形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用三角形中位线定理解决问题．
如图，延长交于，延长交的延长线于．

∵射线平分，于点
∴
∵
∴
∴
即是的中点
由题意，
，，
，，
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴是的中点（等腰三角形的三线合一）
∵是的中点
∴是的中位线
∴
故选：A
7．C
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果．
解：如图，延长交于，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴是的中位线，
，
，
故选：C．
8．A
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理计算即可．
解：，
，
，
，，，分别是，，，的中点，
，，，，
四边形的周长，
故选：A
9．1
利用三角形中位线定理解答即可．
解：∵F，M分别为边和对角线的中点，
∴，
故答案为：1．
此题考查三角形中位线定理，关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答．
10．120
本题主要考查了三角形中位线的性质，
根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可．
解：∵点D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
故答案为：120．
11．/37度
根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
解：如图，延长交于点，
，、、分别是，，的中点，
，
∵，，
，，
∴，
，
解得．
故答案为：．
12．
等腰直角三角形的性质，底角为45°，，由已知条件可得，进而由线段的和差解题即可．
延长AE、BC交于点H，
是等腰三角形，
，
故答案为：．
本题考查等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．
本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，三角形中位线定理的应用是解题的关键．
取的中点G，连接，，根据三角形的中位线定理，求出，的长，得到，利用勾股定理求出的长即可．
解：，
，
平分，
，
，
取的中点G，连接，，
∵点E，F分别是，的中点，
，，，，
，，
，
，
，
，，
故答案为：．
14．
根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案．
解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形，
∵，
∴．
本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据三角形的中位线的性质即可得证；
（1）∵是的中点，
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形
（2）∵及分别是的中点，
∴是的中位线
∴
16．(1)见解析
(2)
（1）证明为的中位线，得出，，由为的中点，得到，由四边形为平行四边形，得到，从而得到，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由，即可得出答案．
（1）证明：，，
为的中位线，
，，
为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键．
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键．
（1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证；
（2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明；
（3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可．
（1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
∴分别为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：P是的中点，M是中点，
是的中位线，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
（1）如图1，延长至点，使得，连接，先利用证明，再证明四边形是平行四边形，可证明结论；
（2）如图2，根据点，，分别是，，的中点，可得出，，，，再根据，，由平行的性质可求出，再利用勾股定理即可求出的长；
（3）如图3，连接，根据点，，，分别是，，的中点，可得，；，，由平行线的性质和等量代换可推出，，最后利用平行四边形的判定即可证明结论．
（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
∴，
∵点是的边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵点是的边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
即，．
（2）解：∵如图2，点，，分别是，，的中点，，，，，
∴，，
，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，．
∴的长为．
（3）证明：如图3，连接，
∵点，，，分别是，，的中点，
∴，，
，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
本题考查四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，邻补角的定义等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
19．（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理：
（1）①证明，即可得出结论；
②由得，再由平行线的判定即可证明；
（2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论．
解：（1）①，，，
，
；
②由①知，，
，
；
（2），证明如下：
连接，取的中点，连接，
∵，分别是边，的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（1）平行四边形，理由见解析；（2）
（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明；
（2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而．
解：（1）四边形是平行四边形，
理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点为中点，
∴，
由翻折得：，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）过点E作于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由翻折得：，
∵，
∴，
∵点为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)