18.2.1 矩形 第2课时 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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18.2.1 矩形 第2课时 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（ ）
A．与互相平分 B．
C． D．
2．下列条件中，不能判定平行四边形是矩形的是（）
A． B． C． D．
3．在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
5．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为( )
A． B． C． D．
6．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．10 B．12 C．16 D．18
9．如图，在长方形中，=4， =8，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，，则下列结论：① ；②当时，平分 ； ③△周长的最小值为15 ；④当时，平分.其中正确的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．将一个含30 °的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．15° D．5°
11．如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
12．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）
A．10 B．4 C．20 D．8
二、填空题
13．在中，于点D，交于点E，交于点F，当满足条件 时，四边形是矩形．
14．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝ 度．
15．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ．
16．如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可）
17．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是 ；若AC＝5 cm，则BD＝ ．
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 ．
19．如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
20．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，．
(1)求证：平行四边形是矩形；
(2)若，求该矩形的面积．
21．如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求线段的长．
22．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
23．如图，．
(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，过点A作于F，延长交于G，求证：；
参考答案
1．B
本题考查矩行的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
解：A.与互相平分，不能得到四边形是矩形；
B.，能得到四边形是矩形；
C.，四边形是菱形而不是矩形；
D.，不能得到四边形是矩形；
故选：B．
2．A
本题考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．根据矩形的判定逐个判断即可．
解：A、不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；
B、，，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；
C、，对角线相等，可推出平行四边形是矩形，不符合题意；
D、，所以，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意．
故选：A
3．D
本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可．
解：∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，故A符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意．
故选D．
4．A
根据平行四边形的性质可得，，可得当时，平行四边形为矩形．
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
当时，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故选：A．
本题考查矩形的判定及平行四边形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键．
5．C
由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
解：如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°
6．A
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A．
7．B
本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，过点 D 作于点G，则四边形是矩形．可得，再根据矩形和平行四边形的性质可得．
解：如图，过点 D 作于点G，
∵ 四边形 是矩形，
∴，
．
∴ 四边形是矩形．
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
8．B
本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解．
解：作于M，交于N．

则有四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
根据，可设BE=x，则AE=8-x，利用Rt△ABE中勾股定理即可求出BE；当时，四边形APCE为菱形，故可得到平分 ；作C点关于直线AD的对称点C’，根据对称性即可求出△周长的最小值；过点A作AH⊥PE，PG⊥BC，根据求得DP、GC的长，再得到EG,故可求出BP的长，根据等面积法得到AH的长，由AH=AB即可证明平分.
∵，设BE=x，则AE=8-x，
在Rt△ABE中AE2=AB2+BE2,
即（8-x）2=42+x2,
解得x=3，故① 正确；
当时，∵EC=5
∴AP∥EC,AP=CE，
∴四边形APCE为平行四边形。
又AE=EC，
∴四边形APCE为菱形，
故可得到平分 ，②正确；
作C点关于直线AD的对称点C’，则PC=PC’
∴△周长的最小值为EC+EC’=5+，故③错误；
过点A作AH⊥PE，PG⊥BC，
∴AB=PG=4
∵
∴PD==GC
∴EG=5-=
故EP==
又S△AEP=AP×PG=EP×AH
即××4=××AH
∴AH=4=AB，
∴平分，④正确；
故选B.

此题主要考查矩形的性质及证明，解题的关键是熟知勾股定理、对称性、菱形的判定与性质.
10．C
由BC=2AB=2BM，得到△ABM是等腰直角三角形，又根据四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，推出∠AFM=∠FMC=45°，因为∠MFE=60°，得到∠AFE=15°．
解：∵BC=2AB=2BM，
∴AB=BM，
∴∠AMB=45°，
∵∠AMF=90°，
∴∠FMC=45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFM=∠FMC=45°，
∵∠MFE=60°，
∴∠AFE=15°．
故选C．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟记定理．
11．B
取AB中点E，连接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、C三点共线时，OC最大为OE＋CE．
解：取AB中点E，连接OE、CE，如图所示：
则BE＝AB＝3，
∵∠MON＝90°，
∴OE＝AB＝3．
在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝＝5．
在△OCE中，根据三角形三边关系可知CE+OE＞OC，
∴当O、E、C三点共线时，OC最大为OE+CE＝3+5＝8．
故选：B．
本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题．
12．C
作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′＝AB，GG′＝AD，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．
解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，
过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．
∵AE＝CG，BE＝BE′，
∴E′G′＝AB＝8，
∵GG′＝AD＝6，
∴E′G＝＝10，
∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝20．
故选C．
本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键．
13．
先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．本题考查矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等知识，熟练掌握菱矩形的判定和平行四边形的判定与性质．
证明：，，
四边形是平行四边形，，
当时
∴四边形是矩形
∴当满足条件时，四边形是矩形
故答案为：
14．44
由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴∠ACB=∠OBC=23° ，
∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ，
∴∠DBE=44° ．
故答案为：44
本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．
15．
本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
解：点D，E，F分别是的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
故答案：．
16．（答案不唯一）
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是解题的关键．
解：添加使得四边形是矩形．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
故答案为：．
17． 矩形 5cm
先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平时四边形是矩形，最后根据矩形的对角线相等，即可解决本题.
试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
本题考查矩形的判定和矩形的性质.判断四边形ABCD是矩形是解题的关键.
18．75°
根据四边形ABCD为矩形,利用矩形的对角线互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB与三角形COD都为等边三角形,进而求出∠ACB为30°,由DE为直角的角平分线,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC为等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代换可得EC=OC,即三角形OEC为等腰三角形,由顶角∠ACB为30°即可求出底角∠COE的度数.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=OD,（矩形的对角线相等且互相平分）
∵∠AOB=60°,
∴∠COD=60°,（对顶角相等）
∴△AOB和△COD为等边三角形,（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）,
∴∠BAC=60°,CD=OC,
则∠ACB=30°,（直角三角形两锐角互余）
∵DE平分∠ADC,
∴∠EDC=45°,
可得△DCE为等腰直角三角形,
∴CD=EC,
∴EC=OC,（等量代换）
∴∠COE=∠CEO,
∴∠COE=75°（三角形内角和是180°）.
故答案为75°.
解决本题的关键是得到所求角所在的三角形的形状及相应的角的度数.
19．
本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等．
解：∵四边形为矩形，
∴，
（两直线平行内错角相等），
在与中，
∴（）
∴
．
故答案为：．
20．(1)见解析
(2)60
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
（1）根据等角对等边得出，根据平行四边形性质求出，根据矩形的判定即可得解．
（2）根据矩形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可根据面积公式得到解答．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴又，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：
，
∴的面积是．
21．(1)证明见解析
(2)
本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）已证：四边形是矩形，
∴，
∴在中，．
22．(1)证明见解析
(2)12
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出，从而得到，利用即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得出，从而证明出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，推出四边形是矩形，由勾股定理得，即可得解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
根据勾股定理得，
∴矩形的面积为．
23．(1)
(2)见解析
（1）构造一线三垂直的全等，过D作于点M，过E作于点N，易证，根据勾股定理可得，再利用三角形面积公式求解即可．
（2）过点C作的平行线交的延长线于点H，通过证明得出，进而证得四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得到G是线段的中点．
（1）解：如图，过D作于点M，过E作于点N，
则，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，
在和中，
，
，
．
（2）证明：如图，过点C作的平行线与延长线交于点H，连接，
，
．
，
，
又，
．
在和中，
，
．
，
∴四边形是平行四边形，
；
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，通过构造三角形全等证明四边形是平行四边形是解答本题的难点．
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