18.2.2 菱形 第1课时 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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18.2.2 菱形 第1课时 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（）
A． B． C．35 D．
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．两组对边分别平行 D．对角线相等
5．如图，在菱形中，对角线，交于点，为的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
6．如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．120 B．240 C．80 D．160
8．边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，两个相同的菱形拼接在一起，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出在菱形ABCD面积的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在菱形中，．
（1）菱形的面积为 ．
（2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ．
12．如图，在菱形中，已知，交于点E，且，则对角线的长为 ．
13．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，E是的中点，则的长等于 ．
14．如图，在菱形中，、分别是、上的点，且，与相交于点，连接．若，则的度数为 ．

15．如图，在菱形中，对角线、相交于点，且，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为 ．

16．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论：
①；②四边形是菱形；③四边形与四边形面积相等．其中正确结论的有 个

17．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接．若，，则线段的长为 ．
三、解答题
18．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DB＝2，AC＝4，求菱形的周长．
19．如图，在菱形中，为边的延长线，在内部作射线，且，过点D作于点F．
(1)求的度数；
(2)若，求对角线的长．
20．如图， 在菱形中，，点E，点F 分别在上．

(1)如图1，若点E， 点F 分别是的中点， 则 °；
(2)如图2，若满足， 求证：是等边三角形．
(3)如图3，若点E为的中点，，点G、点H 分别在，上，且，求和之间的数量关系．
21．如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的长．
22．如图，菱形的对角线与相交于点，的中点为，连接并延长至点，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
23．已知：四边形是菱形，、分别是、上的点，且，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形．
参考答案
1．B
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案．
解：∵在菱形中，对角线相交于点O，，，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴菱形的边长为5，
故选：B．
2．A
本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键．
解：∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．D
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：．
故选：D．
4．D
本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，再分析矩形具有而菱形不具有性质即可得出答案．
解：矩形和菱形是平行四边形，
C、两组对边分别平行；B、两组对角分别相等是二者都具有的性质，
∵A、对角线互相垂直是菱形具有的性质，
D、对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．
故选：D．
5．A
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，由菱形的周长可求得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求得答案．
解：∵菱形的周长为28，
∴边长为，
∵，
∴,
∵为的中点，
∴．
故选：A．
6．A
本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．
由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
解：∵在菱形中， ，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
7．A
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵点O是中点，即是斜边上的中线，
∴，
∴菱形的面积，
故选：A．
8．B
易求AC的长为8，根据菱形的性质和勾股定理即可求出BD的长，问题得解．
解：如图，连接BD交AC于点E，
∵四边形ABCD是菱形
∵A点表示数﹣2，C点表示数6，
∴AC＝8，
∵AD＝5，
在中，由勾股定理得
DE＝＝3，
故选：B．
本题主要考查了菱形的性质，同时涉及到了勾股定理，灵活利用菱形的性质是求线段长度的关键.
9．A
根据菱形对角线平分一组对角求出，再根据菱形邻角互补求出，由此即可利用周角的定义求出答案．
解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形对角线平分一组对角，菱形邻角互补是解题的关键．
10．D
根据菱形的性质求解即可判断．
解：∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，
∴菱形ABCD面积的是AE BC，选项A错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，AF⊥CD，
∴菱形ABCD面积的是AF CD，选项B不正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是菱形的对角线，
∴菱形ABCD面积的是AC BD，选项C错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，DG⊥BC，
∴菱形ABCD面积的是DG BC，选项D正确，符合题意；
故选：D．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质“菱形对角线相互垂直”是解题的关键．
11． 4
本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称-对短路径的计算，全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质，掌握菱形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）连接交于点，根据菱形的性质可得是含角的直角三角形，由此可得的值，根据菱形的面积计算方法即可求解；
（2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得，可证四边形为平行四边形，可得，于是当三点共线时，最小，根据菱形的性质，可证为等边三角形，，由此三点共线，当三点共线时，点，重合，可知，由此即可求解．
解：（1）如图所示，连接，交于点，
∵四边形是菱形，，，
∴，且，
∴是等边三角形，
∴，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为：；
（2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得，
∵四边形是菱形，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，
，当三点共线时，最小，
四边形是菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
三点共线，当三点共线时，点，重合，
，
∴，即的最小值为4．
12．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，由，，利用勾股定理求出，求出，再利用勾股定理即可求出．
解：在菱形中，，
，
由，，
，
，
故答案为：．
13．4
此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质，由在菱形中，，是的中点，易求得的长，证得是的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．
解：∵在菱形中，，
，，
是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：4．
14．/度
由菱形的性质可得，，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．
先判断出四边形是平行四边形，从而得出的长度，根据菱形的性质求出的长度，计算出面积即可．
解：，，
四边形是平行四边形，
，
∵四边形是菱形
∴，
∴，
在中，，则，
．
故答案为：．
此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，求出的长度，判断是直角三角形，是解答本题的关键．
16．3
①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；②先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，因此，则四边形是菱形，②正确；③由菱形的性质得，再由证明，得，由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确．
解：四边形是菱形，
，，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中位线，
，故①正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
，四边形是菱形，故②正确；
，
由菱形的性质得：，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形与四边形面积相等，故③正确；
故正确的结论有3个．
故答案为：3．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
17．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键；根据菱形的性质得到，由，设，则，得到，过D作于H，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形为菱形，
∴，
由，
设，则，
∴，
∴，
过D作于H，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
18．
由在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，长度分别是8和6，可求得OA与OB的长，AC⊥BD，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC═×4＝2，OB＝BD＝×2＝1，AC⊥BD，
∴AB＝＝，
∴菱形的周长为4．
此题考查了菱形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直且互相平分定理的应用是解此题的关键．
19．(1)
(2)
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据菱形的性质即可解答；
（2）连接交于点，先证，再证，得，即可得出答案．
（1）解：∵四边形是菱形，
，
；
（2）解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
．
20．(1)60
(2)见解析
(3)
本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质及平行四边形的判定与性质；
（1）连接，得到都是等边三角形，根据三线合一性质求出即可；
（2）连接，得到是等边三角形，证明，进而证明结论；
（3）连接，过点B作交于点P，交于点Q，先证明，设，求出，，即可求出结论；
（1）解：连接，

在菱形中，，
都是等边三角形，
∴，
点E， 点F 分别是的中点，
，
；
故答案为：60；
（2）证明：如图2，连接，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
（3）如图3，连接，过点B作交于点P，交于点Q，

在菱形中，，
四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵点E为的中点，，
∴，
设，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵ ，
∵ ，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)1
本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
（1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形．
（2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长．
（1）证明：，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
．
又，
是等边三角形，
，
．
22．(1)见解析．
(2)96．
（1）根据对角线互相平分可得到四边形四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直，可得到一个角是直角，即可证明；
（2）由易得，由勾股定理可得的长度，再根据菱形的面积等于对角线之积的一半即可得到答案．
（1）证明：∵的中点为，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
在菱形中，，
∴，
又四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）可知四边形是矩形，
∴
∵，，
∴，
在菱形中，，
又，
∴，
在中，
∴，
即，
∴，
∴．
即菱形的面积为96．
本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是要先判断出四边形是矩形．
23．(1)见解析
(2)，，，
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定：
（1）证明，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质，结合等腰三角形的定义，进行判断即可．
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，为等腰三角形，
由（1）知：，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴为等腰三角形，
综上：图中一定是等腰三角形的有，，，．
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