18.2.3 正方形 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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18.2.3 正方形 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．如图，在正方形外侧作等边，连接，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，点P是正方形内位于对角线下方的一点，，则（ ）

A． B． C． D．
3．如图，正方形被分割成面积相等的四个矩形，已知，则正方形面 积 为 （ ）
A．36 B．48 C．64 D．81
4．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B．1.25 C．1.5 D．无法确定
5．能判定一个四边形是正方形的条件是（ ）
A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相垂直平分且相等
C．对角线互相平分且相等 D．对角线相等且四个角都是直角
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，给出四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定平行四边形ABCD是正方形的有（ ）组
A．3 B．4 C．5 D．6
7．四边形的对角线交于点O，有下列论断：①；②；③，；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．其中推理不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，，，E是上一点，且，则的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
9．将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将正方形纸片折叠，使边、均落在对角线上，得折痕、，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则
12．如图，正方形的边长为，为的中点，是对角线上一动点，连接、，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是 ．
13．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是．若大正方形的边长是18，求图形①的面积 ．
14．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ．
15．定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ．
三、解答题
16．如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，．
(1)试确定四边形的形状，并说明理由．
(2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明．
17．如图，正方形，点，分别在，上，且，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）求的长．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
(1)求证：四边形ADCE是矩形．
(2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积．
参考答案
1．A
根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可．
在正方形中，，
在等边中，，
∴，
∴．
故选：A．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．
2．C
由正方形的性质可得，可得，由得到，由三角形内角和定理可求解．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是本题的关键．
3．C
本题考查了正方形的面积，矩形的面积，设正方形的边长为，根据正方形被分割成面积相等的四个矩形列出方程求解即可．
解：设正方形的边长为，
根据题意得，，
解得或（舍去），
正方形的面积为64，
故选：C．
4．B
连接，根据中心对称图形的性质，即可求解.
解：连接，

∵正方形的边长分别是3和2，
∴两个正方形的面积分别是：9和4，
∵正方形和正方形的对称中心都是点，
∴，
故选：B．
本题主要考查正方形的性质，掌握正方形是中心对称图形是关键.
5．B
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
根据正方形的判定对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对各个选项进行分析从而得到最后答案．
解：A.不正确，也可能是菱形；
B.正确，能判定是正方形；
C.不正确，也可能是菱形，矩形等；
D.不正确，可能是矩形；
故选：B．
6．B
根据正方形的判定定理逐一验证即可求解．
解：选择①②：有一个是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形；故选择①②符合题意；
选择①③：∵平行四边形对角线互相平分，∴OA=OC，OB=OD
∵OA=OB，
∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，∴邻边相等的矩形是正方形；故选择①③符合题意；
选择①④：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形，故选择①④不符合题意；
选择②③：同理∵OA=OB，∴四边形ABCD是矩形，而有一个是直角的平行四边形也是矩形，故选择②③不符合题意；
选择②④：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形；故选择②④符合题意；
选择③④：同理∵OA=OB，∴四边形ABCD是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形；故选择③④符合题意；
能判定平行四边形ABCD是正方形的有①②、①③、②④、③④，共4组，
故选：B．
本题考查了正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
7．D
根据矩形、菱形、正方形的判定定理对四个选项逐一分析．
解：A、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A正确；
B、由②⑤，一个角是直角的菱形是正方形，故B正确；
C、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故C正确；
D、由③④不能判断四边形是正方形，故D错误，
故选D．
本题的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．
8．B
如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，CG⊥CD，交AB延长线于G，可证明四边形ABCF是正方形，可得DF的长，根据角的和差关系可得∠DCF=∠GCB，利用ASA可证明△DCF≌△GCB，可得CD=CG，BG=DF，根据∠DCE=45°可知∠ECG=∠DCE=45°，利用SAS可证明△DCE≌△GCE，可得DE=GE，根据S正方形ABCF=S△AED+2S△GCE列方程可求出AE的长，进而求出GE的长即可得答案．
如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，CG⊥CD，交AB延长线于G，
∵，，，
∴四边形ABCF是正方形，DF=1，
∵∠DCF+∠BCD=90°，∠GCB+∠BCD=90°，
∴∠DCF=∠GCB，
在△DCF和△GCB中，，
∴△DCF≌△GCB，
∴CG=CD，BG=DF=1，
∵∠DCE=45°，CG⊥CD，
∴∠ECG=∠DCE=45°，
在△DCE和△GCE中，，
∴△DCE≌△GCE，
∴S△GCE=S△DCE，DE=GE，
∴S正方形ABCF=S△AED+2S△GCE，
∴AE·AD+2×GE·BC=AB2，即×3AE+4（5-AE）=42，
解得：AE=1.6，
∴DE=GE=5-AE=3.4．
故选：B．
本题考查正方形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
9．A
考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和．
由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为．
故选：A．
10．A
此题主要考查了图形的翻折变换，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．首先根据正方形的性质可得，再根据折叠可得，，进而可得，即．
解：如图，
四边形是正方形，
，
根据折叠可得，，
，
，
即．
故选：A
11．/75度
本题主要查了正方形的性质，等边三角形的性质．根据正方形的性质可得，，再由等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
12．
解：如图，连接交于点，
∵正方形的边长为，为的中点，
∴
∵点和关于对称，
当与重合时，的最小值即为的长，
在中，根据勾股定理，得
．
的最小值为
故答案为．
13．18
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，
先根据正方形的性质得，，，可得是等腰直角三角形，再设，根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理得，进而得出，即可求出答案．
如图所示，是正方形的对角线，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
设，根据勾股定理，
得，
∴．
根据勾股定理，得，
∴，
解得，
∴，
．
故答案为：18．
14．正方形
由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题．
解：如图所示：
在中，，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，，．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
设与交于点，与交于点，
在中，，分别是，的中点，
∴，同理，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形
15．2
连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可．
解：连接，，交于点M，
∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴，，，
∴，同理：，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是“对垂四边形”，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形是“对垂四边形”，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
16．(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)，证明见解析
（1）由等腰三角形的三线合一得，，从而，再根据四边形的性质得，，从而证明，，四边形是平行四边形，根据得是矩形；
（2）当时，根据平行线的性质证明即可得矩形为正方形．
（1）解：四边形是矩形理由如下，
∵，为的中点，
，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
．，，
，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是矩形；
（2）解：当时，四边形为正方形，
证明：∵四边形为平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
17．(1)见解析；
(2)．
本题考查正方形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，即可．
（1）根据正方形的性质，则，，再根据，全等三角形的判定和性质，则，即可；
（2）由（1）的，，得，根据，等量代换，则，根据，，勾股定理求出，根据，进行解答，即可．
（1）证明：证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）见解析（2）6
（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x 2）2＋（x 3）2＝52，求出AD＝x＝6．
（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，
∴四边形AEGF为矩形，
∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∴矩形AEGF是正方形；
（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，
设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，
则BG＝EG BE＝x 2，CG＝FG CF＝x 3，
在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x 2）2＋（x 3）2＝52，
解得：x＝6或 1（舍去）．
∴AD＝6．
本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．
19．(1)见解析
(2)正方形，
（1）先根据三线合一定理得到∠ADC=90°，，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可证明平行四边形ADCE是矩形；
（2）根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形AECD是正方形，再由进行求解即可．
（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，即AC⊥DE，
∴四边形ADCE是正方形，
∴
∴．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，三线合一定理，熟知相关特殊四边形的性质与判定条件是解题的关键．
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