2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷4（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷4
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.下列各式，计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
4.依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
5.化简，正确的是( )
A. B. C. D.
6.下列判断正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，矩形的边和的长分别为和，把它的左上角如图所示折叠．点恰好落在边上的点处，折痕为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，如果一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
12.如果两个最简二次根式与能合并，那么______．
13.已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边的中线长是______．
14.九章算术是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子丈尺，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为______．
15.如图，在正方形的外侧，作等边，则______．
16.若直角三角形的一个锐角是，斜边长为，则此直角三角形周长是______．
17.如图所示，在边长为的菱形中，，点为中点，点是上一动点，则的最小值为______提示：根据轴对称的性质
18.如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
；
；
．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
21.本小题分
如图：在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
22.本小题分
平行四边形中，对角线与相交于，、是上的两点，并且求证：四边形是平行四边形．
23.本小题分
如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．
求，两港之间的距离结果保留到，参考数据：，；
确定港在港的什么方向．
24.本小题分
如图，在中，点，，分别是边，，的中点，且．
求证：四边形是矩形；
若，，求出矩形的周长．
25.本小题分
如图，在中，，分别是，的中点，延长到点，使得，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
26.本小题分
阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
请用其中一种方法化简；
化简：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.为最简二次根式，符合题意，
故选：．
根据最简二次根式的定义可知：被开方数不含有分母被开方数不含能开的尽方的因数或因式，满足这样条件的二次根式叫做最简二次根式，即可判断为最简二次根式．
本题考查了最简二次根式，关键是掌握判定最简二次根式的条件．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的运算，掌握合并同类二次根式的法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则是解题的关键．
根据合并同类二次根式的法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：与不能合并，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，
，，
，
故选：．
根据判断出，，再根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握：当时，；当时，．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质、菱形的性质．解题的关键是证明四边形是平行四边形以及．
先连接、，由于、是、中点，利用三角形中位线定理可知，同理易得，那么有，同理也有，易证四边形是平行四边形，而四边形是菱形，利用其性质有，就有，再利用以及，两次利用平行线的性质可得，即可得证．
【解答】
解：如图所示，四边形是菱形，顺次连接各边中点、、、，连接、，
、是、中点，
，
同理有，
，
同理，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
又，
，
，
，
四边形是矩形．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
首先根据二次根式被开方数为非负数分析的取值范围，再把化为，根据二次根式的乘法进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是正确分析出的取值范围．
6.【答案】
【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
故选：．
根据菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定判断即可．
此题考查正方形的判定，关键是根据菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定解答．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理的几何意义：，解得即可．
【解答】
解：由题意：，，
正方形、、的面积依次为、、，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
把它的左上角如图所示折叠．点恰好落在边上的点处，折痕为，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，，，
；
如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，，，，
将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得，
由于，
所以蚂蚁爬行的最短路程为．
故选：．
将立体图形展开，有三种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可．
本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．
10.【答案】
【解析】解：在正方形中，和为对角线，
，，，
，
；
，
，
，
在和中
≌，
，
是等腰直角三角形；
过点作，如图，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由题意证明≌，所以，则是等腰直角三角形；过点作，解三角形即可得出的长，进而可求出的长．
本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出是等腰直角三角形．
11.【答案】且
【解析】解：要使式子在实数范围内有意义，
则，且，
解得：且．
故答案为：且．
直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，注意分式的分母不能为零是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：两个最简二次根式与能合并，
两个最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：．
由两个最简二次根式与能合并，可得两个最简二次根式与是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程，解此方程即可求得答案．
本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
13.【答案】或．
【解析】解：一个直角三角形的两边长分别为和，
如图，当和均为直角边时，即，时，，点是的中点，
，
点是的中点
；
如图，当为直角边和为斜边时，即，，，点是的中点，
，
点是的中点，
，
，
综上所述，三边的中线长是或，
故答案为：或．
根据直角三角形三边的特征，斜边比直角边长可知，分两种情况讨论，利用勾股定理求出第三边，进而求解即可．
本题考查勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，根据题中所给条件分类讨论是解决问题的关键．
14.【答案】尺
【解析】解：设折断后的竹子高为尺，则长为尺，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
故答案为：尺．
设折断后的竹子的高为尺，根据勾股定理列出方程求解即可．
考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
15.【答案】
【解析】解：如图，四边形是正方形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故答案为．
欲求，只要求出，，只要证明是顶角为的等腰三角形即可．
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是发现是顶角为的等腰三角形，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：直角三角形的一个锐角是，斜边长为，
另一个锐角是，
角所对的直角边长为，
另一直角边长为，
此直角三角形周长，
故答案为：．
利用含角的直角三角形的性质得角所对的直角边长为，再利用勾股定理求出第三边，即可得出周长．
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方是对点的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使成为最小值．
首先连接，，设交于，连接，证明只有点运动到点时，取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【解答】
解：连接，，设交于，连接，，
四边形是菱形，
，互相垂直平分，
点关于的对称点为，
，
．
只有当点运动到点时，取等号两点之间线段最短，
中，，，
是等边三角形．
为的中点，
，
，，
的最小值为．
18.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，，
，
将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，
，
，
，
设，
，，
在中，，
即，
解得：，
．
故答案为：．
根据矩形及折叠的性质可知，，，则，设，则，，利用勾股定理可得：，即，求出即可求得的长度．
本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，由矩形与翻折的性质得到是解题的关键．
19.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则计算即可；
先用平方差公式和完全平方公式化简，然后合并同类二次根式计算即可．
先化简括号内二次根式，然后计算加减，然后计算括号外的除法即可；
先化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再根据二次根式的加减运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，化简为最简二次根式是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
，
把，代入上式，得
原式．
【解析】本题考查分式的化简求值，注意先化简，再代值计算．先对通分，再对分解因式，进行化简求值．
21.【答案】解：，
为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．
故四边形的面积是．
【解析】在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
22.【答案】证明：如图所示：
的对角线、相交于点，、是上的两点，
，，
，
，则，
四边形是平行四边形．
【解析】根据题意画出图形，再利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出，，即可证明四边形是平行四边形．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质．平行四边形的判定方法有五种，具体选择哪一种方法解答应先分析题目中的已知条件，并仔细体会它们之间的联系与区别，才能合理、灵活地选择方法．
23.【答案】解：由题意可得，，，
，，
，
．
，
．
答：、两地之间的距离为．
由知，为等腰直角三角形，
，
，
港在港北偏东的方向上．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，是基础知识，比较简单．
由题意得，由勾股定理，从而得出的长；
由，则点在点北偏东的方向上．
24.【答案】证明：连接．
，分别是边，的中点，
，，
点是边的中点，
．
．
四边形为平行四边形；
由点，分别是边，的中点，
．
，
，
四边形为矩形；
解：四边形为矩形，
，
，
，，
，
，，，，
，
矩形的周长．
【解析】连接根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质和判定，三角形的中位线的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】证明：、分别是、的中点，
，且．
又，，
，．
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形邻边相等的平行四边形是菱形．
解：在菱形中，，，
．
是等边三角形．
．
过点作于点．
．
．
．
【解析】根据点和分别是和的中点，根据三角形中位线的性质，即可得到，且，再等量代换，根据平行四边形的判定定理，即可得到四边形是平行四边形，根据邻边的关系，即可得到结论；
根据的大小，可判定是等边三角形，再根据等边三角形的性质，可得到边长，作于点，运用勾股定理，即可得到的长，再根据菱形的面积公式，即可得到答案．
本题考查菱形判定及菱形面积求解，关键是掌握菱形的判定及性质．
26.【答案】解：
；
．
【解析】运用第二种方法，进行计算即可解答；
先把每一个加数进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，规律型：数字的变化类，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
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