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第四章 三角形
4.1.1 三角形的定义和内角和
郑州外国语教育集团朗悦校区 魏祎
4.
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.我能了解三角形及相关概念；
2.我能正确识别和表示三角形；
拓展性目标 3.我能按角的大小对三角形进行分类；
4.我能掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题；
挑战性目标 5.我能模仿老师给的练习，尝试改编或创编类似的练习，并对其他同学的运算或改编、创编练习进行评价，并给出合理建议.
二 复习回顾
预备性知识：
1. 请你观察身边的各种事物，找到类似于三角形的物体，并回顾小学所学的有关三角形的知识点。
古代建筑的屋顶，路口的交通指示牌等
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1）
1.观察课本85页的图4-1，回答课本上的两个问题，总结出三角形的定义
三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的表示方法
三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.除此△ABC还可记作△BCA, △CAB, △ACB等
三 新知讲解
活动2：（基础性目标2）
1.三角形中有几条线段？有几个角？
有三条线段，三个角
2.三角形的边、顶点、角分别是什么？
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角形的角.
A
B
C
三 新知讲解
基础性练习
1.下列图形符合三角形的定义吗？
不符合
不符合
不符合
三 新知讲解
活动3：（拓展性目标1）
1.我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形三个内角的和为180°. 但是观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 你能发现证明的思路吗？（小组合作，可以用不同的方法进行证明）
C
B
A
三 新知讲解
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他的做法如下.
(1)如图①所示，剪一张三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.
(2)将∠1撕下，按如图②所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合.
利用图②，小明说明了三角形三个内角的和为180°.你知道他是如何说明的吗 说说你的想法，并与同伴进行交流。
还有其他的方法吗？
利用“两直线平行，同旁内角互补”即可证明.
①
②
三 新知讲解
证明：三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
三 新知讲解
证明：三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等) .
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
1
2
D
E
C
B
A
三 新知讲解
三角形的内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°.
符号语言：
在△ABC中，∠A +∠B +∠C = 180°.
A
B
C
三 新知讲解
拓展性练习
1.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标2）
1.阅读课本86页“思考·交流”，小颖所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标2）
1.阅读课本86页“思考·交流”，小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标2）
1.阅读课本86页“思考·交流”，小亮所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标2）
1.阅读课本86页“思考·交流”，小亮所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标2）
1.阅读课本86页“思考·交流”，小亮所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
三 新知讲解
2.在一个三角形中，最多有几个锐角？最多有几个直角？最多有几个钝角？
你能依据内角的大小对三角形进行分类吗？
我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
锐角三角形
三个内角都是锐角
直角三角形
有一个内角是直角
钝角三角形
有一个内角是钝角
三 新知讲解
拓展性练习
2.观察图中的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？
解: ③⑤是锐角三角形，
①④⑥是直角三角形，
②⑦是钝角三角形.
三 新知讲解
直角三角形：
通常，我们用符号 “Rt△ABC”表示“直角三角形ABC ”.
直角所对的边称为直角三角形的斜边，
夹直角的两条边称为直角三角形的直角边．
斜边
直角边
直角边
A
B
C
三 新知讲解
3.根据“三角形的内角和为180°”，与小组讨论直角三角形的两个锐角之间有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余.
符号语言：
在Rt△ABC中，若∠ABC=90°
则∠A＋∠C=90°
A
B
C
三 新知讲解
拓展性练习
3.如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
D
三 新知讲解
活动5： （挑战性目标）
请利用今天所学的知识，以小组为单位编写一道题目，与相邻小组互换进行求解与批改，并对对方小组的题目进行评价.
四 课堂总结
对照学习目标，说说本节课的收获
基础性目标
1.我能了解三角形及相关概念；
2.我能正确识别和表示三角形；
拓展性目标 3.我能按角的大小对三角形进行分类；
4.我能掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题；
挑战性目标 5.我能模仿老师给的练习，尝试改编或创编类似的练习，并对其他同学的运算或改编、创编练习进行评价，并给出合理建议.
五 当堂检测
必做题：
1. （基础性知识）已知在中, , ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
B
五 当堂检测
2.（拓展性知识）如图，△ABC中BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°，∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数.
解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∠ABD=54°，∠ADB=90°
∴∠A=180°－∠ABD－∠ADB
=180°－54°－90°=36°
∠C=180°－∠A－（∠ABD+∠DBC）
=180°－36°－（54°+18°）
=72°.
C
A
B
D
五 当堂检测
3.（挑战性知识）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB的度数是多少？当轮船行驶到距离灯塔最近点时呢？
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
当轮船行驶到D点时距离灯塔最近。
∵ ∠CBD=70°，∠CBD+ ∠ABC=180°
∴ ∠ABC=180°- ∠CBD =110°
在△ ABC 中，
∵ ∠A+ ∠ACB+ ∠ABC=180 °,∠A=30°
∴ ∠ACB =180 °- ∠A -∠ABC=40°
30 °
70 °
B
C
A
D
五 当堂检测
选做题：
1. （基础性知识）三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
五 当堂检测
2. （拓展性知识）如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ,∠B=56 ,则∠A 的度数为( )
A. B. C. D.
A
五 当堂检测
综合拓展：
3.（挑战性知识）请结合所学知识完善你改编或创编的题目.
六 作业布置
基础性作业：
1.已知在中, ,,则 ( )
A. B. C. D.
2.如图，在 中， ， ，，
则 的度数为( )
A. B. C. D.
(可根据实际选做)
A
C
六 作业布置
拓展性作业：
3.在中,若 ,则 ______.这个三角形是______三角形.
4.若三角形三个内角的比为 ，则这个三角形是______三角形.
5.在中,若 ,比小 ,则 _____.这个三角形是______三角形.
(可根据实际选做)
钝角
直角
锐角
六 作业布置
挑战性作业：
6.如图，已知点在的边 的延长线上，，交于点，交于点， ， ，求 的度数.
解： ，
.
.
.
(可根据实际选做)
六 作业布置
挑战性作业：
7.用自己的方式梳理本节课的知识结构.
(可根据实际选做)
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine《4.1.1 三角形的定义和内角和》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 魏祎
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域明确要求:学生应理解三角形的基本概念，包括定义、构成要素（边、角、顶点）及符号表示方法（如△ABC）。
课程内容方面:要求学生掌握三角形内角和为180°的性质，并能运用这一性质解决简单的角度计算问题。通过观察、操作、实验（如拼角、测量）等方式，验证三角形内角和定理，培养几何直观能力。结合生活实例（如建筑结构、交通标志等），理解三角形的稳定性和实际应用价值。
核心素养培养方面：通过动手操作（如撕拼角、折叠三角形）将抽象性质可视化，帮助学生建立空间观念，几何直观；引导学生从实验现象中归纳结论，逐步培养“观察—猜想—验证—应用”的数学思维路径。设计实际问题（如修复倾斜的椅子腿需构成三角形支撑），让学生体会数学的实用性。鼓励学生改编题目或设计新问题（如探究四边形内角和时分割为三角形），激发创造性思维。
（二）教材解读
《三角形的定义和内角和》是北师大版七年级下册数学第四章的第一课时，是在学生已具备一定的空间想象能力和生活经验基础上展开的。从数学知识体系来看，它是后续学习三角形全等、对称等知识的基石，为理解三角形的本质与含义奠定基础。从生活应用角度，让学生学会用空间思维看待生活中几何物体，增强数学建模意识。
教材以自行车架、屋顶桁架、金字塔侧面等实物图片为切入点，引导学生发现三角形的普遍性和稳定性特点。通过让学生画三角形、标注顶点和边，明确“三条线段首尾顺次连接”的定义，并对比四边形、五边形强化理解。注重实验探究活动，让学生体验撕拼角实验：将三角形三个角撕下拼成平角，直观验证内角和为180°。 用量角器测量不同类型的三角形（锐角、直角、钝角），记录数据并归纳共性。教材编排从具体到抽象：先观察实物，再抽象为几何图形，最后提炼数学性质。强调学生通过实验自主发现结论，而非直接灌输定理。并结合物理（力的分解）、美术（构成设计）等学科，体现三角形在多元领域的价值。
三、学情分析
1. 知识基础
七年级学生经过学习，已掌握线段、角的基本概念，能识别直角、锐角、钝角。在小学阶段接触过简单图形（如长方形、正方形），但对三角形系统性认知不足。在生活中，他们也积累了大量关于三角形建筑的直观经验，这为理解三角形提供了生活认知基础。但是也存在潜在困难，容易混淆“三角形的表示方法”。
2. 行为习惯
七年级学生精力比较旺盛，对动手操作（如拼图、测量）兴趣浓厚，适合通过实验活动突破难点；小组合作意愿强，能通过讨论完善结论（如分类标准）。
3. 关键能力
此阶段学生正从形象思维向抽象思维过渡。他们能通过具体观察和实例理解几何图形的真实情况，但是难以独立完成严谨证明，需教师搭建“脚手架”（如问题链：“两个直角能拼成三角形吗？为什么？”）；分类讨论时易遗漏情况（如钝角三角形中只关注最大角而忽略其他角）。
四、学习目标
基础性目标 1. 我能了解三角形及相关概念； 2. 我能正确识别和表示三角形；
拓展性目标 3. 我能按角的大小对三角形进行分类； 4. 我能掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题；
挑战性目标 5. 我能模仿老师给的练习，尝试改编或创编类似的练习，并对其他同学的运算或改编、创编练习进行评价，并给出合理建议。
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：预习教材，观察生活中的三角形实例。
课堂：通过图片展示和小组讨论，归纳三角形的定义及表示方法。
拓展性目标 实现路径 课前：准备剪刀、纸张等工具。
课堂：通过撕拼角实验验证内角和，分类讨论锐角、直角、钝角三角形。
挑战性目标 实现路径 课堂：小组合作改编内角和问题，互评解题思路。
课后：设计一道与三角形内角和相关的实际问题。
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示学习目标，强调三角形在生活中的重要性。 记录目标，思考生活中的三角形实例。
创设情境 基础过关 12分钟 展示屋顶、桥梁等图片，讲解三角形的定义（三条线段首尾顺次连接）和表示方法（符号△ABC）。 观察图片，讨论并回答“三角形”的特点。在练习本上画出三角形并标注顶点，同桌互查表示是否正确。
自主探讨 个人展评 8分钟 分发纸张，指导学生通过撕拼角实验验证内角和为180°。邀请学生分享实验结果，点评并板书结论。 动手操作，记录实验数据，总结内角和规律.主动展示实验过程，其他学生补充或质疑。
合作探讨 挑战突破 10分钟 布置任务：
1. 按角的大小分类三角形；
2. 解决“已知两角，求第三角”问题。 小组合作完成分类和计算，派代表讲解思路。
对照目标 课堂小结 2分钟 提问：“今天学到了哪些知识？内角和性质如何应用？” 总结三角形定义、分类及内角和，分享解题心得。
检测效果挑战点拨 6分钟 发放检测题（如：判断图形是否为三角形；计算缺失的角）。 独立完成检测，同桌交换批改，讨论易错点。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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