《4.1.1三角形的定义和内角和》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 魏祎
预备性知识：
1. 请你观察身边的各种事物，找到类似于三角形的物体，并回顾小学所学的有关三角形的知识点。
答案：古代建筑的屋顶，路口的交通指示牌等
活动1：（基础性目标1）
1.观察课本85页的图4-1，回答课本上的两个问题，总结出三角形的定义
答案: 三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的表示方法
答案: 三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.除此△ABC还可记作△BCA, △CAB, △ACB等.
活动2：（基础性目标2）
1.三角形中有几条线段？有几个角？
答案: 有三条线段，三个角
2.三角形的边、顶点、角分别是什么？
答案: 边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角形的角.
基础性练习
1.下列图形符合三角形的定义吗？
答案: 不符合；不符合；不符合
活动3：（拓展性目标1）
1.我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形三个内角的和为180°. 但是观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 你能发现证明的思路吗？（小组合作，可以用不同的方法进行证明）
证明：三角形三个内角的和等于180°.
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等) .
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
三角形的内角和:
三角形三个内角的和等于180°.
符号表述：
在△ABC中，∠A +∠B +∠C = 180°.
拓展性练习：
1.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
活动4：（拓展性目标2）
1.阅读课本86页“思考·交流”，小颖所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
答案: 小颖露出的角是直角，由于“三角形内角和是180°”，可以得到其余两个内角都是锐角.
（2）阅读课本86页“思考·交流”，小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
答案: 小明露出的角是钝角，由于“三角形内角和是180°”，可以得到其余两个内角都是锐角.
（3）阅读课本86页“思考·交流”，小亮所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
答案: 小亮露出的角是锐角，其余两个角的情况有三种情况：
①两个锐角；②一个直角一个锐角；③一个钝角一个锐角.
2.在一个三角形中，最多有几个锐角？最多有几个直角？最多有几个钝角？
你能依据内角的大小对三角形进行分类吗？
答案：我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
锐角三角形，三个内角都是锐角；
直角三角形，有一个内角是直角；
钝角三角形，有一个内角是钝角
拓展性练习：
2.观察图中的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？
答案: ③⑤是锐角三角形，①④⑥是直角三角形，②⑦是钝角三角形.
直角三角形：
通常，我们用符号 “Rt△ABC”表示“直角三角形ABC ” .
如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边．
3.根据“三角形的内角和为180°”，与小组讨论直角三角形的两个锐角之间有什么关系？
答案: 直角三角形的两个锐角互余.
符号语言：
在Rt△ABC中，若∠ABC=90°
则∠A＋∠C=90°
拓展性练习：
3.如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
答案: D
活动5：（挑战性目标）
请利用今天所学的知识，以小组为单位编写一道题目，与相邻小组互换进行求解与批改，并对对方小组的题目进行评价.
小结：
对照学习目标，说说本节课的收获.
当堂检测
必做题：
1. （基础性知识）1. （基础性知识）已知在△ABC中,∠A=60 ,∠B=80 ,则∠C 的度数为( )
A. 80 B. 40 C. 60 D. 50
答案：B
2.（拓展性知识）如图，△ABC中BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°，∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数.
解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∠ABD=54°，∠ADB=90°
∴∠A=180°－∠ABD－∠ADB=180°－54°－90°=36°
∠C=180°－∠A－（∠ABD+∠DBC）=180°－36°－（54°+18°）=72°.
3.（挑战性知识）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB的度数是多少？当轮船行驶到距离灯塔最近点时呢？
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
当轮船行驶到D点时距离灯塔最近。
∵ ∠CBD=70°，∠CBD+ ∠ABC=180°
∴ ∠ABC=180°- ∠CBD =110°
在△ABC中，
∵ ∠A+ ∠ACB+ ∠ABC=180 °,∠A=30°
∴ ∠ACB =180 °- ∠A -∠ABC=40°
选做题：
1. （基础性知识）三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
答案：C
2. （拓展性知识）如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ,∠B=56 ,则∠A的度数为( )
A. 34 B. 44 C. 124 D. 134
答案：A
综合拓展作业：
3.（挑战性知识）请结合所学知识完善你改编或创编的题目.
课后作业（可根据实际选做）
基础性作业：
1.已知在△ABC中,∠A=20 ,∠B=4∠C,则∠C= ( )
A. 32 B. 36 C. 40 D. 128
答案：A
2.如图，在△ABC 中，∠BAC=60 ，∠B=50 ，AD//BC，则∠1的度数为( )
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
答案：C
拓展性作业：
3.在△ABC中,若∠A+∠B=88 ,则∠C= ______.这个三角形是______三角形.
答案：92°，钝角
4.若三角形三个内角的比为1:2:3 ，则这个三角形是______三角形.
答案：直角
5.在△ABC中,若∠A=85 ,∠B比∠A小20 ,则∠C= _____.这个三角形是______三角形.
答案：30°，锐角
挑战性作业：
6.如图，已知点D在△ABC的边BC 的延长线上，DF⊥AB，交AB于点F，交AC于点E，∠A=55 ，∠D=30 ，求∠ACB 的度数.
解：∵DF⊥AB ，
∴∠DFB=90 .
∴∠B=90 ∠D=90 30 =60 .
∴∠ACB=180 ∠A ∠B =180 55 60 =65 .
7.用自己的方式梳理本节课的知识结构.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 魏祎
预备性知识：
1. 请你观察身边的各种事物，找到类似于三角形的物体，并回顾小学所学的有关三角形的知识点。
活动1：（基础性目标1）
1.观察课本85页的图4-1，回答课本上的两个问题，总结出三角形的定义
2.三角形的表示方法
活动2：（基础性目标2）
1.三角形中有几条线段？有几个角？
2.三角形的边、顶点、角分别是什么？
基础性练习
1.下列图形符合三角形的定义吗？
活动3：（拓展性目标1）
1.我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形三个内角的和为180°. 但是观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 你能发现证明的思路吗？（小组合作，可以用不同的方法进行证明）
三角形的内角和:
三角形三个内角的和等于180°.
符号表述：
在△ABC中，∠A +∠B +∠C = 180°.
拓展性练习：
1.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
活动4：（拓展性目标2）
1.阅读课本86页“思考·交流”，小颖所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
（2）阅读课本86页“思考·交流”，小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
（3）阅读课本86页“思考·交流”，小亮所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由.
2.在一个三角形中，最多有几个锐角？最多有几个直角？最多有几个钝角？
你能依据内角的大小对三角形进行分类吗？
拓展性练习：
2.观察图中的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？
直角三角形：
通常，我们用符号 “Rt△ABC”表示“直角三角形ABC ” .
如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边．
3.根据“三角形的内角和为180°”，与小组讨论直角三角形的两个锐角之间有什么关系？
符号语言：
在Rt△ABC中，若∠ABC=90°
则∠A＋∠C=90°
拓展性练习：
3.如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
活动5：（挑战性目标）
请利用今天所学的知识，以小组为单位编写一道题目，与相邻小组互换进行求解与批改，并对对方小组的题目进行评价.
小结：
对照学习目标，说说本节课的收获.
当堂检测
必做题：
1. （基础性知识）1. （基础性知识）已知在△ABC中,∠A=60 ,∠B=80 ,则∠C 的度数为( )
A. 80 B. 40 C. 60 D. 50
2.（拓展性知识）如图，△ABC中BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°，∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数.
3.（挑战性知识）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB的度数是多少？当轮船行驶到距离灯塔最近点时呢？
选做题：
1. （基础性知识）三角形是指（ ）
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
2. （拓展性知识）如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ,∠B=56 ,则∠A的度数为( )
A. 34 B. 44 C. 124 D. 134
综合拓展作业：
3.（挑战性知识）请结合所学知识完善你改编或创编的题目.
课后作业（可根据实际选做）
基础性作业：
1.已知在△ABC中,∠A=20 ,∠B=4∠C,则∠C= ( )
A. 32 B. 36 C. 40 D. 128
2.如图，在△ABC 中，∠BAC=60 ，∠B=50 ，AD//BC，则∠1的度数为( )
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
拓展性作业：
3.在△ABC中,若∠A+∠B=88 ,则∠C= ______.这个三角形是______三角形.
4.若三角形三个内角的比为1:2:3 ，则这个三角形是______三角形.
5.在△ABC中,若∠A=85 ,∠B比∠A小20 ,则∠C= _____.这个三角形是______三角形.
挑战性作业：
6.如图，已知点D在△ABC的边BC 的延长线上，DF⊥AB，交AB于点F，交AC于点E，∠A=55 ，∠D=30 ，求∠ACB 的度数.
7.用自己的方式梳理本节课的知识结构.
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