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【决战期中·50道综合题专练】浙教版七年级下册期中数学卷
1．数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式______________；（用含、的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要三种纸片各多少张？
（3）如图3，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若， ，求图中阴影部分的面积．
2．计算：
（1）﹣3﹣2= ；
（2）（﹣ ）﹣3= ；
（3）52×5﹣2÷50= ．
3．一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．如图1，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）通过图2，发现，，之间的等量关系是：_________；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②如图3所示，将两个边长分别为a和b的两个正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积．
4．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，求它的高度约是多少？
5．已知1cm3的氢气重约为0.00009g，一块橡皮重45g
（1）用科学记数法表示1cm3的氢气质量；
（2）这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍．
6．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？
7．如图：已知于点于点，
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求证：．
8．解决下面的问题
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．
请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；
代数式 ：
代数式 ：
（2）由 可得到关于 的等式：
（3）从边长为 的大正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(图甲)，然后拼成一个平行四边形(图乙). 那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的乘法公式是 (用字母表示)
（4）计算 (直接写结果)
用上面的卡片，(数量自定)画出一个图形，来验证上面的整式运算(要求图中有长度和面积的标记)
9．经销商销售甲型、乙型两种产品，价格随销售量 的变化而不同，具体如下表：
已知销售10件甲型产品和30件乙型产品的销售额为750元，销售60件甲型产品和100件乙型产品的销售额为2520元．
（1）求 a 、 b 的值；
（2）若学校要购买甲型、乙型两种产品共101件，购买的甲产品少于乙产品，所用经费不超过1680元，则有多少种购买方案．
10．已知3x﹣y=6．
（1）用含x的代数式表示y的形式为 ；
（2）若﹣1＜y≤3，求x的取值范围．
11．某班将举行“数学知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
12．化简
（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
13．实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求：
（1），a的值．
（2）当速度时该物体的运动时间t．
14．《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊五，值金十六两．问牛、羊各值金几何？”译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”
根据以上译文，解决下列问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）某人计划用17两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），共有几种不同的购买方案？请列出所有可能的方案．
15．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
16．如图，已知，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
17．直接写出运算结果
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
18．某区为加快美丽乡村建设，建设秀美幸福薛城，对A，B两类村庄进行了全面改建.根据预算，建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元；甲镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投人资金1140万元.
（1）建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元
（2）乙镇3个A类美丽村庄和6个B类美丽村庄的改建共需资金多少万元
19．数学活动课上，张老师用图①中的 张边长为 的正方形 、 张边长为 的正方形 和 张宽和长分别为 与 的长方形 纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 （用含 ， 的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为 的大长方形，求需要 、 、 三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点 为线段 上的动点，分别以 、 为边在 的两侧作正方形 和正方形 ．若 ，且两正方形的面积之和 ，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
20．为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？
21．用适当的方法解下列方程组
（1）
（2） ．
22．嘉淇准备完成题目；化简（ ）-（ ）时发现系数“ ”印刷不清楚．
（1）她把“ ”猜成3，请你化简 ，并求当 时的值.
（2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“ ”是几
（3）若该题的化简结果中二次项系数是-1，通过计算说明原题中“ ”是几
23．如图，有一块长为a米、宽为b米的长方形空地，现计划在这块空地中间修出两条互相垂直的宽均为2米的道路（图中阴影部分），其余部分进行绿化．
（1）求出绿地的面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）若a=2b，且道路的面积为116米2，求原长方形空地的宽．
24．先化简再求值：
（1）y2(y+1)+2y(y2﹣2y+3)，其中y＝1．
（2）(a+b)2+(b+a)(b﹣a)﹣2a(2b﹣2)，其中a＝﹣1，b＝2．
25．如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
（1）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
（2）若，利用（1）中的结论，求的值；
（3）若，求的值．
26．某商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.
（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
27．如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
28．在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题：
葡萄酒种类 A B C
每辆无人车装载量（箱） 6 8 9
（1）如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？
（2）如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？
29．数学活动：数学课上老师要求同学们利用三角板作已知直线a的平行线，下面是苗苗和小华作图的过程.老师说苗苗和小华两位同学的作法都是正确的.
（1）分析判断：苗苗和小华作平行线的依据分别是：
苗苗： ；
小华： .
（2）作法探究：李强同学受到苗苗和小华作平行线的启发，也用三角板作出了平行线，作法如下：
①如图1，将含角的三角板ABC的直角边AC与直线a重合，将另一块含角的三角板DEF的直角边DE与三角板ABC的斜边AB紧贴，顶点A与顶点D重合；
②如图2，固定三角板DEF的位置，移动三角板ABC，使三角板ABC的斜边AB与三角板DEF的直角边EF紧贴，顶点F与顶点B重合，画出直角边BC边所在的直线b，则.
请你判断李强的作法是否正确？如果正确，请结合图2进行证明；如果不正确，请说明理由.
（3）变式练习：小明发现，将李强作图中的的直角三角板换成任意直角三角形纸片，用同样的方法，也能得到a∥b，如图所示.若图4中的，请直接写出∠CFD的度数.
30．如图， 于点 ， 于点 ，且 .
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）若 ，求 的度数.
31．如图：
（1）写出图中的同位角： ；
（2）如果∥，那么图中与相等的角有 个（除外）；
（3）当 时，∥，理由： ；
（4）如果与互补，那么与有什么关系？说明理由．
32．北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十八号飞船与空间站六个小时完成对接，这是一项了不起的成就． 某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计130元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计120元．
（1）求两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用220元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
（3）若该汽车销售公司销售1件种航天载人飞船模型可获利10元，销售1件种航天载人飞船模型可获利20元，在（2）中的购买方案中，假如这些航天载人飞船模型全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
33．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O.
（1）图中除直角外，还有其他相等的角，请写出两对：① ；② ．
（2）如果∠AOD＝40°，那么：
①根据 ，可得∠BOC＝ ；
②求∠POF的度数．
34．如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）求证：．
（3）若，求的度数．
35．化简求值：
（1）5x2+4﹣3x2﹣5x﹣2x2﹣5+6x，其中x＝﹣2.
（2）2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x＝﹣2，y＝﹣3.
36．列二元一次方程组解应用题：
（1）一条船顺流航行，每小时20km，逆流航行，每小时16km，求轮船在静水中的速度与水的流速.
（2）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块边长为200m的正方形土地，分为两块长方形土地，分别种植这两种作物．怎么划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4
37．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
38．下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ 直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ▲ ＝
▲ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ▲ ＝
▲ ，
∴PQl（ ▲ ）（填推理的依据）．
39．校田园科技社团计划购进A、B两种花卉，两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如下表所示：
花卉数量（单位：株） 总费用（单位：元）
A B
第一次购买 10 25 225
第二次购买 20 15 275
（1）你从表格中获取了什么信息？ （请用自己的语言描述，写出一条即可）；
（2）A、B两种花卉每株的价格各是多少元？
40．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线.
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO.
（2）如果将折一次改为折二次，如图-2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论.
41．
（1）已知m+n＝4，mn＝2，求m2+n2的值；
（2）已知am＝3，an＝5，求a3m﹣2n的值．
42．已知关于 的方程 是一元一次方程，试求：
（1） 的值；
（2） 的值。
43．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计65万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计90万元．
（1）求A，B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元．
（2）若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），问A，B两种型号的新能源汽车各购买多少辆？
44．已知、是关于x、y的二元一次方程ax+by=3的两组解．
（1）求a，b的值．
（2）当x=5，y=﹣1时，求代数式ax+by的值．
45．已知关于x，y的方程组，其中a是常数.
（1）若时，求这方程组的解：
（2）若，求这方程组的解：
（3）若方程组的解也是方程的一个解，求a的值.
46．已知∠AOB与∠EDC两个角，∠EDC保持不动，且∠EDC的一边CD∥AO，另一边DE与直线OB相交于点F.若∠AOB=40°，∠EDC=55°，完成下列各题：
（1）如图1，当点E，O，D在同一条直线上，即点O与点F重合时，∠BOE= .
（2）当点E，O，D不在同一条直线上时，根据图2、图3分别求出∠BFE的大小.
47．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元.
（1）求文具袋和圆规的单价.
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干，文具店给出两种优惠方案：
方案一：购买一个文具袋还送1个圆规.
方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折.
①设购买圆规m个，则选择方案一的总费用为 ，选择方案二的总费用为 .
②若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.
48．已知 ，点 ， 分别在直线 ， 上，点 在直线 与 之间， .
（1）如图1，
求证： .
阅读并补齐下列推理过程
过点 作 ，因为 ，
所以 （ ）
所以 ， （ ）
所以 .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，在学习中要注意体会.
（2）如图2，点 ， 在直线 上， ， 平分 ，
求证： .
（3）在（2）的条件下，过点 作 平分 ，请直接写出使 时， 与 之间应具备的关系.
49．某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
50．如图，已知，点E在直线之间．
（1）求证：
（2）若平分，将线段沿平移至．
ⅰ．如图②，若平分，求的度数．
ⅱ．如图③，若平分，请直接写出与的数量关系．
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【决战期中·50道综合题专练】浙教版七年级下册期中数学卷
1．数学课上，老师用图1中的一张正方形纸片、一张正方形纸片、两张长方形纸片，拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题：
（1）写出由图2可以得到的等式______________；（用含、的等式表示）
（2）小明想用这三种纸片拼成一个面积为的大长方形，则需要三种纸片各多少张？
（3）如图3，分别表示边长为、的正方形面积，且、、三点在一条直线上，若， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）需要三种纸片各6张、2张、7张
（3）
2．计算：
（1）﹣3﹣2= ；
（2）（﹣ ）﹣3= ；
（3）52×5﹣2÷50= ．
【答案】（1）﹣
（2）﹣
（3）1
【解析】【解答】解：（1）﹣3﹣2=﹣ ；（2）（﹣ ）﹣3=﹣ ；
3）52×5﹣2÷50=52﹣2﹣0=1．
故答案为：﹣ ；﹣ ；1．
【分析】根据负整数指数幂：a﹣p= （a≠0，p为正整数），零指数幂：a0=1（a≠0）分别进行计算即可．
3．一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．如图1，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）通过图2，发现，，之间的等量关系是：_________；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，，求的值；
②如图3所示，将两个边长分别为a和b的两个正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）①；②阴影部分的面积为42
4．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，求它的高度约是多少？
【答案】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
由题意得，
解得，
∴个纸杯叠放在一起时的高度为：，
当时，其高度为．
【解析】【分析】设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图中信息列二元一次方程组求出x和y的值，然后代入计算解题．
5．已知1cm3的氢气重约为0.00009g，一块橡皮重45g
（1）用科学记数法表示1cm3的氢气质量；
（2）这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍．
【答案】（1）解：0.00009g=9×10﹣5g
（2）解：45÷0.00009=500000=5×105，
故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍
【解析】【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；（2）利用有理数除法运算法则求出答案即可．
6．甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？
【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
7．如图：已知于点于点，
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，
理由如下：
，
，
∴；
（2）证明：
∵，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据题意可得∠A+∠ABC=180°，根据平行线的判定定理，即可得出结论；
（2）根据AD∥ BC得出∠1=∠DBC，进而可得BD∥EF，根据平行线的性质可得∠2=∠DBC，等量代换即可求证
8．解决下面的问题
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．
请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；
代数式 ：
代数式 ：
（2）由 可得到关于 的等式：
（3）从边长为 的大正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(图甲)，然后拼成一个平行四边形(图乙). 那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的乘法公式是 (用字母表示)
（4）计算 (直接写结果)
用上面的卡片，(数量自定)画出一个图形，来验证上面的整式运算(要求图中有长度和面积的标记)
【答案】（1）；
（2）
（3）
（4）
【解析】【解答】解：（一）（1）由题意：根据正方形和长方形面积公式：
代数式1： ；
代数式2： ；（2）根据（1）中代数式可得：
；
（二）由图可知：图甲中阴影部分面积= ，
图乙中平行四边形的面积= ，
∴ ；（4） = = ；
验证：如图，大矩形的面积= ，
S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8+S9+S10+S11+S12= ，
∴ = .
【分析】（一）（1）直接表示大正方形的面积，再用四个部分的面积和表示大正方形的面积即可；（2）将（1）中面积用等式连接即可；（二）图甲中用大正方形面积减去小正方形面积即可表示，图乙中得出平行四边形的底和高，用平行四边形的面积公式表示即可；（4先用多项式乘多项式法则计算 ，再根据计算的结果画出图形即可.
9．经销商销售甲型、乙型两种产品，价格随销售量 的变化而不同，具体如下表：
已知销售10件甲型产品和30件乙型产品的销售额为750元，销售60件甲型产品和100件乙型产品的销售额为2520元．
（1）求 a 、 b 的值；
（2）若学校要购买甲型、乙型两种产品共101件，购买的甲产品少于乙产品，所用经费不超过1680元，则有多少种购买方案．
【答案】（1）解：依题意，得： ，
解得： ，
故答案为：a=15， ．
（2）设购买甲产品x件，乙产品（101﹣x）件，
依题意，得： ，
解得：46≤x＜50.5，
又∵x为正整数，
∴x可以取46，47，48，49，50，
∴有5种购买方案．
故答案为：有5种购买方案．
【解析】【分析】（1）根据“销售10件甲型产品和30件乙型产品的销售额为750元；销售60件甲型产品和100件乙型产品的销售额为2520元．”即可得出关于a、b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲产品x件，乙产品（101﹣x）件，根据购买的甲产品少于乙产品且所用经费不超过1680元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出结论。
10．已知3x﹣y=6．
（1）用含x的代数式表示y的形式为 ；
（2）若﹣1＜y≤3，求x的取值范围．
【答案】（1）y=3x﹣6
（2）∵﹣1＜y≤3，﹣1＜3x﹣6≤3，
∴ ＜x≤3
【解析】【解答】解：（1）方程3x﹣y=6，
解得：y=3x﹣6；
故答案为：y=3x﹣6；
【分析】（1）把x看做已知数求出y即可；（2）根据y的范围确定出x的范围即可．
11．某班将举行“数学知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
【答案】（1）解：设5元、8元的笔记本分别买 本， 本，
依题意，得： ，解得： .
答：5元和8元笔记本分别买了25本和15本.
（2）解：设买 本5元的笔记本，则买 本8元的笔记本.
依题意，得： ，解得 .因 是正整数，所以 不合题意，应舍去，故不能找回68元.
【解析】【分析】（1）由小明与班长的对话可得两个相等关系“ 5元的笔记本个数+8元的笔记本个数=40；5元的笔记本个数×单价+8元的笔记本个数×单价=小明付款-找回金额+小明自己的口袋里的钱 ”，根据这两个相等关系列方程组即可求解；
（2） 设买 本5元的笔记本，则买 本8元的笔记本. 根据题意可得相等关系“5元的笔记本个数×单价+8元的笔记本个数×单价=小明付款-找回金额”列方程，解这个方程求出m的值是一个分数，所以可判断不能找回68元.
12．化简
（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
【答案】（1）解：原式=( x2- y2)( x2+ y2)( x4+ y4)·…·(x16+ y16)=( x4- y4)( x4+ y4)·…·(x16- y16)＝…＝x32- y32
（2）解：原式＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1)(28+1)(216+1)÷(22-1)
＝(28-1) (28+1) (216+1)÷(22-1)
＝(216-1) (216+1)÷(22-1)＝(232-1)÷(22-1)
= (232-1)
【解析】【分析】（1）根据平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2，逐步计算，得到结果；（2）把原式乘以（22-1），再除以（22-1），得到平方差公式的形式，计算出结果.
13．实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求：
（1），a的值．
（2）当速度时该物体的运动时间t．
【答案】（1）解：∵时，速度；当时，速度，
∴，
解得；
答：
（2）解：由（1）得，
当时，，
解得．
答： t ＝7.2.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）将函数值代入到函数表达式中即可．
14．《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊五，值金十六两．问牛、羊各值金几何？”译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”
根据以上译文，解决下列问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）某人计划用17两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），共有几种不同的购买方案？请列出所有可能的方案．
【答案】（1）解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得
解得
答：每头牛3两银子，每头羊2两银子．
（2）解：设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
∵a、b均为正整数
∴该方程的解为或或
所以共有三种购买方法：
方案一：购买1头牛，7头羊；
方案二：购买3头牛，4头羊；
方案三：购买5头牛，1头羊．
【解析】【分析】（1）设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题中的两个相等关系“5头牛的价格+2只羊的价格=19；2头牛的价格+5只羊的价格=16”可得关于x、y的方程组，解方程组可求解；
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题中的相等关系“a头牛的价格+b只羊的价格=17”可得关于a、b的方程，根据a、b均为正整数可求解.
15．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
【答案】（1）解：图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）解：由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25
（3）解：由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
【解析】【分析】（1）观察已知图形，得到四个小长方形的长和宽，那么图2中图空白正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽；
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长加宽的和，图2中，空白正方形的面积为大正方形的面积减去4个小长方形的面积，分别表示出大正方形的面积和小长方形的面积，代入等量关系即可得解；
（3）通过观察图形，2ab、（2a+b）2分别表示小长方形、大正方形的面积，由（2）可得出（2a﹣b）2表示空白正方形的面积，并得出等量关系：将上述三个表示面积的代数式代入等量关系即可得解。
16．如图，已知，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，连接，
设，
，
，
，
由（1）已得：，
，
，
解得，
即，
由（1）已证：，
．
【解析】【分析】（1）根据题意得出，根据平行线的性质推出，即可得出结论；
（2）连接，根据平行线的性质求出答案即可。
17．直接写出运算结果
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4），
故答案为：；
（5），
故答案为：；
（6），
故答案为：；
（7），
故答案为：；
（8），
故答案为：.
【分析】（1）由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可得出答案；
（2）由幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算即可得出答案；
（3）由幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算即可得出答案；
（4）由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可得出答案；
（5）由互为相反数的两个数的偶数次幂相等及同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可得出答案；
（6）由同底数幂的除法，底数不变，指数相减；一个不为0的数的负整数指数幂，等于这个数的正整数指数幂的倒数，计算即可得出答案；
（7）由一个不为0的数的负整数指数幂，等于这个数的正整数指数幂的倒数，计算即可得出答案；
（8）由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，计算即可得出答案.
18．某区为加快美丽乡村建设，建设秀美幸福薛城，对A，B两类村庄进行了全面改建.根据预算，建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元；甲镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投人资金1140万元.
（1）建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元
（2）乙镇3个A类美丽村庄和6个B类美丽村庄的改建共需资金多少万元
【答案】（1）解：设建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是x万元、y万元.由题意，得
解得
答：建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是120、180万元.
（2）解：3×120+6×180=1440（万元）.
答：乙镇3个A类美丽村庄和6个B类美丽村庄的改建共需资金1440万元.
【解析】【分析】（1）设建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是x、y万元，根据建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元，甲镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投入资金1140万元，列方程组求解；（2）根据（1）求出的值代入求解.
19．数学活动课上，张老师用图①中的 张边长为 的正方形 、 张边长为 的正方形 和 张宽和长分别为 与 的长方形 纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 （用含 ， 的代数式表示）；并验证你得到的等式；
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为 的大长方形，求需要 、 、 三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点 为线段 上的动点，分别以 、 为边在 的两侧作正方形 和正方形 ．若 ，且两正方形的面积之和 ，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【答案】（1） ；验证：
（2）解：
所需 、 两种纸片各2张， 种纸片5张
（3）解：设 ， 则
，
由于阴影部分的面积为 ，
【解析】【分析】（1）根据图形面积求等式即可；
（2）根据
计算求解即可；
（3）先求出a2+b2=20，再根据
，计算求解即可。
20．为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？
【答案】一班有个同学，领到有棵树苗；
21．用适当的方法解下列方程组
（1）
（2） ．
【答案】（1）解：
⑴×3+（2），可得11x=22，
解得x=2，
把x=2代入（1），可得y=2，
∴原方程组的解是
（2）解：
由（1），可得2x﹣5y=13（3），
⑵×5+（3）×2，可得9x=81，
解得x=9，
把x=9代入（1），可得y=1，
∴原方程组的解是
【解析】【分析】应用加减法，求出每个二元一次方程组的解各是多少即可．
22．嘉淇准备完成题目；化简（ ）-（ ）时发现系数“ ”印刷不清楚．
（1）她把“ ”猜成3，请你化简 ，并求当 时的值.
（2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“ ”是几
（3）若该题的化简结果中二次项系数是-1，通过计算说明原题中“ ”是几
【答案】（1）解：原式 ，
当 时，原式 ；
（2）解：设“ ”是 ，
原式 .
∵标准答案是常数，
∴ ，
∴“ ”是5；
（3）解：由（2）知 ，
∴ ，
“ ”是4．
【解析】【分析】（1）先化简代数式，再将x的值代入计算求解即可；
（2）先化简代数式，再求出a=5，最后求解即可；
（3）根据题意求出 ， 再解方程求解即可。
23．如图，有一块长为a米、宽为b米的长方形空地，现计划在这块空地中间修出两条互相垂直的宽均为2米的道路（图中阴影部分），其余部分进行绿化．
（1）求出绿地的面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）若a=2b，且道路的面积为116米2，求原长方形空地的宽．
【答案】（1）解：∵长方形空地的长为a米、宽为b米，中间有两条互相垂直的宽均为2米的道路，
∴绿地的面积是：（a﹣2）（b﹣2）米2
（2）解：根据题意得： ，
解得 ，
答：原长方形空地的宽为20米
【解析】【分析】（1）根据长方形空地的长为a米、宽为b米，中间有两条互相垂直的宽均为2米的道路，再根据长方形的面积公式即可得出答案；（2）根据长方形的长是宽的2倍和长方形的面积=绿地的面积+道路的面积，列出方程组，进行求解即可．
24．先化简再求值：
（1）y2(y+1)+2y(y2﹣2y+3)，其中y＝1．
（2）(a+b)2+(b+a)(b﹣a)﹣2a(2b﹣2)，其中a＝﹣1，b＝2．
【答案】（1）解：y2(y+1)+2y(y2﹣2y+3)
＝y3+y2+2y3﹣4y2+6y
＝3y3﹣3y2+6y，
当y＝1时，原式＝3﹣3+6＝6
（2）解：(a+b)2+(b+a)(b﹣a)﹣2a(2b﹣2)
＝a2+2ab+b2+b2﹣a2﹣4ab+4a
＝﹣2ab+2b2+4a，
当a＝﹣1，b＝2时，原式＝4+8﹣4＝8
【解析】【分析】（1）利用单项式乘以多项式的法则，先化简原式，再代入求值；
（2）利用两数和的平方公式与平方差公式，先化简原式，再代入求值；
注意：①必须按题目要求，先对原式进行化简，再代入化简后的式子求值，切不可直接代入求值；②去括号时应注意符号的是否改变.
25．如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
（1）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
（2）若，利用（1）中的结论，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：．理由如下：
观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，
则图中个小长方形面积的和为：；
图中个小长方形面积的和为：；
由此得出：．
（2）解：由（1）中的结论可知，，
，
等号两边平方得，，
，
．
（3）解：∵，
设，，而
则
则 ．
即
【解析】【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个面积可得；
（2）利用（1）的计算方法可得，再求解即可；
（3）设，，而，则 再利用（1）的计算方法可得答案。
26．某商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.
（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
【答案】（1）设A型号计算器售价为 元，B型号计算器售价为 元
由题意可得：
解得：
答：A型号计算器售价为42元，B型号计算器售价为56元.
（2）设购进A型号计算器 台，则B型号计算器（ ）台
由题意可得：
解得：
答：最少需要购进A型号计算器30台。
【解析】【分析】（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可．
27．如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
【答案】（1）解： ，
①-②，得
3∠α=165°，
解得，∠α=55°，
把∠α=55°代入②，得
∠β=125°，
即∠α和∠β的度数分别为55°，125°
（2）证明：由（1）知，∠α=55°，∠β=125°，
则∠α+∠β=180°，
故AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD；
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C=180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE=90°，
又∵∠α=55°，
∴∠BAC=145°，
∴∠C=35°．
【解析】【分析】（1）将两方程相减，消去β，求出α，然后求出β的值。
（2）由（1）可知∠α+∠β=180°，利用平行线的判定可证得AB∥EF，再由CD∥EF，可证得结论。
（3）利用平行线的性质，可证得∠BAC+∠C=180°，再根据垂直的定义求出∠CAE的度数，即可得到∠BAC的度数，由此可求出∠C的度数。
28．在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题：
葡萄酒种类 A B C
每辆无人车装载量（箱） 6 8 9
（1）如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？
（2）如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？
【答案】（1）装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车；
（2）无人车的装运方案共有3种，
方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒；
方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒；
方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒．
29．数学活动：数学课上老师要求同学们利用三角板作已知直线a的平行线，下面是苗苗和小华作图的过程.老师说苗苗和小华两位同学的作法都是正确的.
（1）分析判断：苗苗和小华作平行线的依据分别是：
苗苗： ；
小华： .
（2）作法探究：李强同学受到苗苗和小华作平行线的启发，也用三角板作出了平行线，作法如下：
①如图1，将含角的三角板ABC的直角边AC与直线a重合，将另一块含角的三角板DEF的直角边DE与三角板ABC的斜边AB紧贴，顶点A与顶点D重合；
②如图2，固定三角板DEF的位置，移动三角板ABC，使三角板ABC的斜边AB与三角板DEF的直角边EF紧贴，顶点F与顶点B重合，画出直角边BC边所在的直线b，则.
请你判断李强的作法是否正确？如果正确，请结合图2进行证明；如果不正确，请说明理由.
（3）变式练习：小明发现，将李强作图中的的直角三角板换成任意直角三角形纸片，用同样的方法，也能得到a∥b，如图所示.若图4中的，请直接写出∠CFD的度数.
【答案】（1）同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
（2）解：正确；
证明：由题意得：
∠C’DF＝2∠C’DE＝60°，∠CFD（∠CBD）＝2∠CFA（∠CBA）＝120°，
∴∠C’DF＋∠CFD（∠CBD）＝180°，
∴CF//C’D，即a//b.
（3）解：(3)∵，
∴，
又∵∥，
∴，
故答案为150°.
【解析】【解答】解：（1）由图象可知：
苗苗：同位角相等，两直线平行；小华：内错角相等，两直线平行.
（3）∵，
∴，
又∵∥，
∴，
故答案为：150°.
【分析】（1）根据平行线的判定定理进行解答即可；
（2）由题意可得∠C′DF＝2∠C′DE＝60°，∠CFD=2∠CFA=120°，则∠C′DF＋∠CFD=180°，然后根据平行线的判定定理进行解答；
（3）根据角的和差关系可得∠C′DF=∠C′DE+∠FDE=30°，根据平行线的性质可得∠CFD+∠C′DF=180°，据此计算.
30．如图， 于点 ， 于点 ，且 .
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）解：如图，
理由：
（2）解：
由(1)得
【解析】【分析】（1）利用同垂直于一条直线的两直线平行，可证得AD∥EF，利用平行线的性质可得到∠4+∠3=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠4；然后利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠1+∠2=90°，结合已知求出∠2的度数，然后利用平行线的性质可求出∠C的度数.
31．如图：
（1）写出图中的同位角： ；
（2）如果∥，那么图中与相等的角有 个（除外）；
（3）当 时，∥，理由： ；
（4）如果与互补，那么与有什么关系？说明理由．
【答案】（1），
（2）3
（3）；内错角相等，两直线平行
（4）解：，理由如下：
因为与互补，（已知）
所以∥，（同旁内角互补，两直线平行）
所以．（两直线平行，内错角相等）
【解析】【解答】解：（1）因为直线EF和ED被直线CM所截，
所以的同位角是，
因为直线AC和ED被直线CM所截，
所以的同位角是，
故答案为：，；
（2）∵∥，
∴，
∵∠FHC和∠DHE互为对顶角，∠FGA和∠EGB互为对顶角，
∴∠FHC=∠DHE=∠FGA=∠EGB，
故答案为：；
（3）当时，∥，理由：内错角相等，两直线平行；
故答案为：，内错角相等，两直线平行；
【分析】（1）根据同位角的定义求解即可；
（2）先求出，再求解即可；
（3）根据平行线的判定方法求解即可；
（4）利用平行线的判定与性质求解即可。
32．北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十八号飞船与空间站六个小时完成对接，这是一项了不起的成就． 某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计130元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计120元．
（1）求两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用220元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
（3）若该汽车销售公司销售1件种航天载人飞船模型可获利10元，销售1件种航天载人飞船模型可获利20元，在（2）中的购买方案中，假如这些航天载人飞船模型全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元
（2）所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进6件A型飞船模型和2件B型飞船模型
（3）购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型时利润最大，最大利润为元
33．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O.
（1）图中除直角外，还有其他相等的角，请写出两对：① ；② ．
（2）如果∠AOD＝40°，那么：
①根据 ，可得∠BOC＝ ；
②求∠POF的度数．
【答案】（1）∠COE＝∠BOF；∠COP＝∠BOP
（2）对顶角相等；40°；因为OP平分∠BOC， 所以∠POC＝ ∠BOC＝ ×40°＝20°， 所以∠POF＝90°－∠POC＝90°－20°＝70°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和对顶角来填空；
（2）①根据对顶角相等可得∠BOC的度数；②根据垂直的定义求得∠POF的度数．
34．如图，直线分别与直线交于点B，F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）求证：．
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：．
理由：∵，
∴，
∴
（2）证明：由（1）知，
∴．
∵的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定方法求解即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再结合，证出，即可得到BE//CF；
（3）先求出，再利用平行线的性质可得。
35．化简求值：
（1）5x2+4﹣3x2﹣5x﹣2x2﹣5+6x，其中x＝﹣2.
（2）2（x3﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣3y2+2x3），其中x＝﹣2，y＝﹣3.
【答案】（1）解：原式＝（5x2﹣3x2﹣2x2）+（﹣5x+6x）+（4﹣5）
＝x﹣1，
当x＝﹣2时，
原式＝﹣2﹣1＝﹣3；
（2）解：原式＝2x3﹣4y2﹣x+2y﹣x+3y2﹣2x3
＝﹣y2﹣2x+2y，
当x＝﹣2，y＝﹣3时，
原式＝﹣（﹣3）2﹣2×（﹣2）+2×（﹣3）
＝﹣9+4﹣6
＝﹣11.
【解析】【分析】（1）对原式进行合并同类项可得x-1，然后将x的值代入进行计算；
（2）对原式进行合并同类项可得-y2-2x+2y，然后将x、y的值代入进行计算.
36．列二元一次方程组解应用题：
（1）一条船顺流航行，每小时20km，逆流航行，每小时16km，求轮船在静水中的速度与水的流速.
（2）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块边长为200m的正方形土地，分为两块长方形土地，分别种植这两种作物．怎么划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4
【答案】（1）解：设轮船在静水中的速度与水的流速分别为x、y，由题意可得
解得
答：轮船在静水中的速度与水的流速分别为18km/h，2km/h.
（2）解：设甲作物的长为x米，乙作物的长为y米，由题意可得
解得
答：甲作物的长为120，宽为200；乙作物的长为80，宽为200.
【解析】【分析】（1）设轮船在静水中的速度与水的流速分别为x、y，根据顺流速度=船在静水中的速度+水速、逆流速度=船在静水中的速度-水速结合题意可得关于x、y的方程组，求解即可；
（2）设甲作物的长为x米，乙作物的长为y米，由正方形的长为200可得x+y=200；根据总产量的比是3：4可得200x：400y=3：4，联立求解即可.
37．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【答案】（1）解：
答：该长方形空地的面积为．
（2）解：．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为．
（3）解：当，时，这两个长方形喷泉池的总面积为．
【解析】【分析】（1）先根据图形列出算式，再进行化简即可；
（2）先根据图形列出算式，再进行化简即可；
（3）在第（2）问的基础上，将，代入进行计算.
38．下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ 直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ▲ ＝
▲ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ▲ ＝
▲ ，
∴PQl（ ▲ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）补全图形如下：
（2）∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴△POQ≌△AOB，
∴∠QPO＝∠BAO ，
∴PQ∥l（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【解析】【分析】（1）作出线段AB的垂直平分线，分别交于两条平行线于点B、Q， 则直线PQ为所求作的直线 ；
（2） 根据线段垂直平分线的性质，可得PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，可证△POQ≌△AOB，
可得∠QPO＝∠BAO ，根据平行线的判定即证.
39．校田园科技社团计划购进A、B两种花卉，两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如下表所示：
花卉数量（单位：株） 总费用（单位：元）
A B
第一次购买 10 25 225
第二次购买 20 15 275
（1）你从表格中获取了什么信息？ （请用自己的语言描述，写出一条即可）；
（2）A、B两种花卉每株的价格各是多少元？
【答案】（1）购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元
（2）解：设A种花卉每株x元，B种花卉每株y元，由题意得：
，
解得： ，
答：A种花卉每株10元，B种花卉每株5元
【解析】【分析】解：（1）购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元，
故答案为：购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元；（1）答案不唯一，根据表格可得购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元；（2）设A种花卉每株x元，B种花卉每株y元，根据题意可得A种花卉10株的花费+B种花卉25株的花费=225元，A种花卉20株的花费+B种花卉15株的花费=275元，根据等量关系列出方程组，再解即可．
40．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线.
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO.
（2）如果将折一次改为折二次，如图-2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论.
【答案】（1）证明：过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥OM∥CD，∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，即∠EOF=∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠BEO+∠P=∠O+∠PFC．证明如下：
过O作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，
∴∠EOP﹣∠OPF=（∠EOM+∠MOP）﹣（∠OPN+∠NPF）=∠EOM﹣∠NPF，
∠BEO﹣∠PFC=∠EOM﹣∠NPF，∴∠BEO﹣∠PFC=∠EOP﹣∠OPF，∴∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC．
【解析】【分析】（1） 过O作OM∥AB， 可得AB∥OM∥CD，根据平行线的性质可得∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，从而得出∠EOF=∠EOM+∠FOM=∠BEO+∠DFO；
（2）∠BEO+∠P=∠O+∠PFC．证明：过O作OM∥AB，PN∥AB， 可得AB∥OM∥PN∥CD，根据平行线的性质可得∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO， 根据角的和差即可求解.
41．
（1）已知m+n＝4，mn＝2，求m2+n2的值；
（2）已知am＝3，an＝5，求a3m﹣2n的值．
【答案】（1）解：∵m+n＝4，mn＝2，
∴m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝42﹣2×2
＝12；
（2）解：∵am＝3，an＝5，
∴a3m﹣2n
＝a3m÷a2n
＝（am）3÷（an）2
＝33÷52
＝ ．
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的性质，运算得到答案即可；
（2）根据同底数幂的除法，运算得到答案即可。
42．已知关于 的方程 是一元一次方程，试求：
（1） 的值；
（2） 的值。
【答案】（1）解：依题意有|m+4|=1，解之得m=-3（舍去），m=-5，
故m=-5
（2）解： 6m+4-12m+3=-6m+7
当m=-5时，原式= 37
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到|m+4|=1，且m+3≠0，求出m 的值；（2）化简整式，再把（1）中m的值代入代数式中，求出代数式的值.
43．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计65万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计90万元．
（1）求A，B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元．
（2）若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），问A，B两种型号的新能源汽车各购买多少辆？
【答案】（1）每辆A型新能源汽车的进价为20万元，每辆B型新能源汽车的进价为15万元．
（2）该公司购进2辆A型新能源汽车，4辆B型新能源汽车．
44．已知、是关于x、y的二元一次方程ax+by=3的两组解．
（1）求a，b的值．
（2）当x=5，y=﹣1时，求代数式ax+by的值．
【答案】（1）解：由题意，得，
解得
（2）解：当x=5，y=﹣1时，ax+by=5a﹣b=5×2﹣（﹣3）=13．
【解析】【分析】（1）本题可将两组的x、y的值代入二元一次方程中，得出．再运用加减消元法解出a、b的值；
（2）将（1）中计算出来的a、b的值和x=5，y=﹣1代入代数式即可解出本题的答案．
45．已知关于x，y的方程组，其中a是常数.
（1）若时，求这方程组的解：
（2）若，求这方程组的解：
（3）若方程组的解也是方程的一个解，求a的值.
【答案】（1）解：当a=2时，原方程组变为：
①×3+②得
5x=25
∴x=5
将x=5代入①得
y=0
∴这个方程组的解为
（2）解：当时，得：，
把代入②得，
则方程组的解为；
（3）解：把①×3②得：，
解得：.
【解析】【分析】（1）将a=2代入方程组中，然后利用第一个方程德倍加上第二个方程可求出x的值，将x的值代入第一个方程中求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）将x=y代入第一个方程中可得2a+1=0，求出a的值，然后代入第二个方程中求出x的值，据此可得方程组的解；
（3）利用第一个方程的3倍减去第二个方程可得x-6y=-3a+11，然后将已知条件代入进行计算可得a的值.
46．已知∠AOB与∠EDC两个角，∠EDC保持不动，且∠EDC的一边CD∥AO，另一边DE与直线OB相交于点F.若∠AOB=40°，∠EDC=55°，完成下列各题：
（1）如图1，当点E，O，D在同一条直线上，即点O与点F重合时，∠BOE= .
（2）当点E，O，D不在同一条直线上时，根据图2、图3分别求出∠BFE的大小.
【答案】（1）15°
（2）解：①如图，当点E，O，D不在同一条直线上时，过点F作GF∥AO.
∵CD∥AO，
∴GF∥CD，
∴∠GFE=∠EDC=55°，∠GFB=∠AOB=40°，
∴∠BFE=∠GFE-∠GFB=55°-40°=15°；
②如图，过点F作GF∥AO.
∵CD∥AO，
∴GF∥CD，
∴∠GFE=∠EDC=55°，∠GFB=∠AOB=40°.
∴∠BFE=∠GFE+∠GFB=55°+40°=95°.
【解析】【解答】解：（1）∵CD∥AO，
∴∠AOE=∠D=55°，
又∵∠AOB=40°，
∴∠BOE=∠AOE-∠AOB=55°-40°=15°，
故答案为：15°；
【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠AOE=∠D=55°，再根据∠AOB=40°，即可得出∠BOE的度数；
（2）①过F作GF∥AO，根据平行线的性质，进行计算即可；②过F作GF∥AO，根据平行线的性质，进行计算即可.
47．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元.
（1）求文具袋和圆规的单价.
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干，文具店给出两种优惠方案：
方案一：购买一个文具袋还送1个圆规.
方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折.
①设购买圆规m个，则选择方案一的总费用为 ，选择方案二的总费用为 .
②若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.
【答案】（1）解：设文具袋的单价为x元，圆规单价为y元.
由题意得 解得
答：文具袋的单价为15元，圆规单价为3元.
（2） 元；元；解：②买圆规100个时，方案一总费用： 元， 方案二总费用： 元， ∴方案一更合算.
【解析】【解答】解：（2）①设圆规m个，则方案一总费用为： 元
方案二总费用 元
故答案为 : 元； 元；
【分析】（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元，根据“购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据总价＝单价×数量结合两种优惠方案，可得出当购买m个圆规时，选择方案一及选择方案二所需费用；
②代入m＝100，分别求出选择两个方案所需总费用，比较后即可得出结论．
48．已知 ，点 ， 分别在直线 ， 上，点 在直线 与 之间， .
（1）如图1，
求证： .
阅读并补齐下列推理过程
过点 作 ，因为 ，
所以 （ ）
所以 ， （ ）
所以 .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，在学习中要注意体会.
（2）如图2，点 ， 在直线 上， ， 平分 ，
求证： .
（3）在（2）的条件下，过点 作 平分 ，请直接写出使 时， 与 之间应具备的关系.
【答案】（1）；平行于同一条直线的两条直线平行；两条直线平行内错角相等
（2）证明：过点 作 ，
，
， ，
由（1）知， ，
又 ，
，
，
，
∴ ，
平分 ，
，
，
（3）解： ，理由如下：
∠DBC＝∠DBE＋∠EBF＋∠FBC，
∵BF∥AM，
∴∠EBF＝∠DEB，
∵BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝∠EFB，
而由（2）知：∠DBE＝∠DEB，
∴∠DBC＝3∠FBC，
∵CN∥AM，
∴CN∥BF，
∴∠FBC＝∠BCN，∠DBC＝3∠BCN，
而∠BAM＝∠DBC，
∴∠BAM＝3∠BCN
【解析】【解答】解：（1）过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ），
所以∠ABG=∠BAM，∠CBG=∠BCN（两直线平行，内错角相等），
所以∠ABC=∠ABG+∠CBG=∠BAM+∠BCN.
故答案为：BG， 平行于同一条直线的两条直线平行 ，两直线平行，内错角相等；
【分析】（1）添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质进行角的等量代换；
（2）与（1）同理，通过添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质、角平分线的定义进行角的等量代换；
（3）在（2）的条件下，根据已有的数量关系，加上平行线得到的内错角相等进行等量代换即可.
49．某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A纪念品每件x元，B纪念品每件y元，
，
解得，
答：A纪念品每件150元，B纪念品每件100元
（2）设A购进纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
则，
化简得，即，
又因为a、b均为正整数，且都不小于12，
当a取12时，b取22；
当a取14时，b取19；
当a取16时，b取16；
当a取18时，b取13，
上述四种方案均符合题意，即共有四种方案，
答：该商店共有四种进货方案
（3）由上述四个方案算出每种方案利润，
第一种方案：（元）；
第二种方案：（元）；
第一种方案：（元）；
第一种方案：（元）；
即A购进12件，B购进22件获利最大，为900元
【解析】【分析】（1）设A纪念品每件x元，B纪念品每件y元，根据“ 购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）设A购进纪念品a件，B纪念品b件，根据“正好用完4000元”列方程，利用a、b均为正整数，且都不小于12，得到方案解题；
（3）分别计算（2）中方案的利润，然后作比较解题即可．
50．如图，已知，点E在直线之间．
（1）求证：
（2）若平分，将线段沿平移至．
ⅰ．如图②，若平分，求的度数．
ⅱ．如图③，若平分，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）解：如图1，过点E作直线EN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EN∥CD，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；
（2）解：∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH=∠EAH，
ⅰ．∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，
又CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD=2x，
又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，
∴∠BAH=∠EAH=45°-x，
如图2，过点H作l∥AB，
同理可得：∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°；
ⅱ．设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，
∵HF平分∠CFG，
∴∠GFH=∠CFH=90°-x，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，
如图3，过点H作l∥AB，
∴∠AHF-y+∠CFH=180°，
即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+（x+y），
∴∠AHF=90°+∠AEC．
【解析】【分析】（1）过点E作EF//AB，可得∠A=∠AEF，利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF//CD，再得到一对内错角相等，进而得出答案；
（2）（ⅰ）HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；
（ⅱ）设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系。
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